Orden de precisión

Término en análisis numérico

En el análisis numérico , el orden de precisión cuantifica la tasa de convergencia de una aproximación numérica de una ecuación diferencial a la solución exacta. Consideremos , la solución exacta de una ecuación diferencial en un espacio normado apropiado . Consideremos una aproximación numérica , donde es un parámetro que caracteriza la aproximación, como el tamaño del paso en un esquema de diferencias finitas o el diámetro de las celdas en un método de elementos finitos . Se dice que la solución numérica es precisa en el orden th si el error es proporcional al tamaño del paso elevado a la th potencia: ^[1] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (V,||\ ||)}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E(h):=||u-u_{h}||}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E(h)=||u-u_{h}||\leq Ch^{n}}$

donde la constante es independiente y generalmente depende de la solución . ^[2] Usando la notación O grande, un método numérico preciso de orden n se denota como ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle ||u-u_{h}||=O(h^{n})}$

Esta definición depende estrictamente de la norma utilizada en el espacio; la elección de dicha norma es fundamental para estimar correctamente la tasa de convergencia y, en general, todos los errores numéricos.

El tamaño del error de una aproximación precisa de primer orden es directamente proporcional a . Se dice que las ecuaciones diferenciales parciales que varían tanto en el tiempo como en el espacio son precisas hasta un orden en el tiempo y hasta un orden en el espacio. ^[3] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Referencias

1. LeVeque, Randall J (2006). Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales . Universidad de Washington. págs. 3–5. CiteSeerX  10.1.1.111.1693 .
2. Ciarliet, Philippe J (1978). El método de elementos finitos para problemas elípticos . Elsevier. págs. 105-106. doi :10.1137/1.9780898719208. ISBN. 978-0-89871-514-9.
3. Strikwerda, John C (2004). Esquemas de diferencias finitas y ecuaciones diferenciales parciales (2.ª edición). Págs. 62-66. ISBN 978-0-898716-39-9.