Un policubo es una figura sólida formada al unir uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós planos . El cubo de Soma , el cubo de Bedlam , el cubo diabólico , el rompecabezas de Slothouber-Graatsma y el rompecabezas de Conway son ejemplos de problemas de empaquetamiento basados en policubos. [1]
Al igual que los poliominós , los policubos se pueden enumerar de dos maneras, dependiendo de si los pares quirales de policubos (aquellos equivalentes por reflexión especular , pero no utilizando solo traslaciones y rotaciones) se cuentan como un policubo o dos. Por ejemplo, 6 tetracubos son aquirales y uno es quiral, lo que da un recuento de 7 u 8 tetracubos respectivamente. [2] A diferencia de los poliominós, los policubos generalmente se cuentan con pares especulares distinguidos, porque no se puede girar un policubo para reflejarlo como se puede hacer con un poliominó dadas tres dimensiones. En particular, el cubo Soma usa ambas formas del tetracubo quiral.
Los policubos se clasifican según el número de celdas cúbicas que tienen: [3]
Se han enumerado policubos fijos (tanto las reflexiones como las rotaciones se cuentan como distintas (secuencia A001931 en la OEIS )) y policubos unilaterales hasta n = 22. Se han enumerado policubos libres hasta n = 16. [4] Más recientemente, se han investigado familias específicas de policubos. [5] [6]
Al igual que los poliominós, los policubos pueden clasificarse según la cantidad de simetrías que tienen. Las simetrías de policubos (clases de conjugación de subgrupos del grupo octaédrico aquiral ) fueron enumeradas por primera vez por WF Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, hasta llegar al grupo de simetría completo del cubo con 48 elementos. Son posibles muchas otras simetrías; por ejemplo, hay siete formas posibles de simetría óctuple. [2]
12 pentacubos son planos y corresponden a los pentominós . 5 de los 17 restantes tienen simetría especular y los otros 12 forman 6 pares quirales.
Los cuadros delimitadores de los pentacubos tienen tamaños 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 3×2×2 y 2×2×2. [7]
Un policubo puede tener hasta 24 orientaciones en la red cúbica, o 48, si se permite la reflexión. De los pentacubos, 2 planos (5-1-1 y la cruz) tienen simetría especular en los tres ejes; estos tienen solo tres orientaciones. 10 tienen una simetría especular; estos tienen 12 orientaciones. Cada uno de los 17 pentacubos restantes tiene 24 orientaciones.
El teseracto ( hipercubo de cuatro dimensiones ) tiene ocho cubos como facetas , y así como el cubo puede desplegarse en un hexominó , el teseracto puede desplegarse en un octacubo. Un despliegue, en particular, imita el conocido despliegue de un cubo en una cruz latina : consiste en cuatro cubos apilados uno sobre el otro, con otros cuatro cubos unidos a las caras cuadradas expuestas del segundo cubo desde arriba de la pila, para formar una forma tridimensional de doble cruz . Salvador Dalí usó esta forma en su pintura de 1954 Crucifixión (Corpus Hypercubus) [8] y se describe en el cuento de 1940 de Robert A. Heinlein " Y construyó una casa torcida ". [9] En honor a Dalí, este octacubo ha sido llamado la cruz de Dalí . [10] [11] Puede teselar el espacio . [10]
De manera más general (respondiendo a una pregunta planteada por Martin Gardner en 1966), de los 3811 octacubos libres diferentes, 261 son desdoblamientos del teseracto. [10] [12]
Aunque se requiere que los cubos de un policubo estén conectados cuadrado con cuadrado, no se requiere que los cuadrados de su borde estén conectados borde con borde. Por ejemplo, el cubo de 26 que se forma al hacer una cuadrícula de cubos de 3×3×3 y luego quitar el cubo del centro es un policubo válido, en el que el límite del vacío interior no está conectado con el límite exterior. Tampoco se requiere que el límite de un policubo forme una variedad . Por ejemplo, uno de los pentacubos tiene dos cubos que se encuentran borde con borde, de modo que el borde entre ellos es el lado de cuatro cuadrados del borde.
Si un policubo tiene la propiedad adicional de que su complemento (el conjunto de cubos enteros que no pertenecen al policubo) está conectado por caminos de cubos que se encuentran cuadrado con cuadrado, entonces los cuadrados del límite del policubo están necesariamente también conectados por caminos de cuadrados que se encuentran borde con borde. [13] Es decir, en este caso el límite forma un poliominoide .
Todo k -cubo con k < 7, así como la cruz de Dalí (con k = 8 ), puede desdoblarse en un poliominó que cubra el plano. Es un problema abierto si todo policubo con un borde conexo puede desdoblarse en un poliominó, o si esto siempre puede hacerse con la condición adicional de que el poliominó cubra el plano. [11]
La estructura de un policubo se puede visualizar por medio de un "gráfico dual" que tiene un vértice para cada cubo y un borde para cada dos cubos que comparten un cuadrado. [14] Esto es diferente de las nociones de nombre similar de un poliedro dual y del gráfico dual de un gráfico incrustado en una superficie.
Los gráficos duales también se han utilizado para definir y estudiar subclases especiales de los policubos, como aquellos cuyo gráfico dual es un árbol. [15]
"Y construyó una casa torcida" de Robert Heinlein, publicado en 1940, y "El profesor sin lados" de Martin Gardner, publicado en 1946, se encuentran entre los primeros libros de ciencia ficción en presentar a los lectores la banda de Moebius, la botella de Klein y el hipercubo (teseracto)..
