El cokernel de una aplicación lineal de espacios vectoriales f : X → Y es el espacio cociente Y / im( f ) del codominio de f por la imagen de f . La dimensión del cokernel se denomina corank de f .
Los cokernels son duales a los kernels de la teoría de categorías , de ahí el nombre: el kernel es un subobjeto del dominio (se asigna al dominio), mientras que el cokernel es un objeto cociente del codominio (se asigna desde el codominio).
Intuitivamente, dada una ecuación f ( x ) = y que se busca resolver, el cokernel mide las restricciones que y debe satisfacer para que esta ecuación tenga una solución (los obstáculos a una solución), mientras que el kernel mide los grados de libertad de una solución, si existe. Esto se explica intuitivamente a continuación.
En términos más generales, el co-núcleo de un morfismo f : X → Y en alguna categoría (por ejemplo, un homomorfismo entre grupos o un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert ) es un objeto Q y un morfismo q : Y → Q tal que la composición qf es el morfismo cero de la categoría y, además, q es universal con respecto a esta propiedad. A menudo se entiende la función q y se denomina a Q el co-núcleo de f .
En muchas situaciones del álgebra abstracta , como en el caso de grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos , el co-núcleo del homomorfismo f : X → Y es el cociente de Y por la imagen de f . En entornos topológicos , como en el caso de operadores lineales acotados entre espacios de Hilbert, normalmente hay que tomar la clausura de la imagen antes de pasar al cociente.
El cokernel se puede definir en el marco general de la teoría de categorías . Para que la definición tenga sentido, la categoría en cuestión debe tener morfismos cero . El cokernel de un morfismo f : X → Y se define como el coecualizador de f y el morfismo cero 0 XY : X → Y .
Explícitamente, esto significa lo siguiente: el co-núcleo de f : X → Y es un objeto Q junto con un morfismo q : Y → Q tal que el diagrama
conmuta . Además, el morfismo q debe ser universal para este diagrama, es decir, cualquier otro q ′ : Y → Q ′ se puede obtener componiendo q con un morfismo único u : Q → Q ′ :
Como ocurre con todas las construcciones universales, el co-núcleo, si existe, es único hasta un isomorfismo único , o más precisamente: si q : Y → Q y q ′ : Y → Q ′ son dos co-núcleos de f : X → Y , entonces existe un isomorfismo único u : Q → Q ′ con q' = u q .
Como todos los coecualizadores, el conúcleo q : Y → Q es necesariamente un epimorfismo . A la inversa, un epimorfismo se denomina normal (o conormal ) si es el conúcleo de algún morfismo. Una categoría se denomina conormal si todo epimorfismo es normal (por ejemplo, la categoría de grupos es conormal).
En la categoría de grupos , el co-núcleo de un homomorfismo de grupo f : G → H es el cociente de H por la clausura normal de la imagen de f . En el caso de los grupos abelianos , como todo subgrupo es normal, el co-núcleo es simplemente H módulo la imagen de f :
En una categoría preaditiva , tiene sentido sumar y restar morfismos. En una categoría de este tipo, el coecualizador de dos morfismos f y g (si existe) es simplemente el conúcleo de su diferencia:
En una categoría abeliana (un tipo especial de categoría preaditiva) la imagen y coimagen de un morfismo f están dadas por
En particular, toda categoría abeliana es normal (y también conormal). Es decir, todo monomorfismo m puede escribirse como el núcleo de algún morfismo. En concreto, m es el núcleo de su propio conúcleo:
El cokernel puede considerarse como el espacio de restricciones que una ecuación debe satisfacer, como el espacio de obstrucciones , así como el kernel es el espacio de soluciones.
Formalmente, se puede conectar el núcleo y el co-núcleo de una función T : V → W mediante la secuencia exacta
Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal T ( v ) = w para resolver,
La dimensión del cokernel más la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo, ya que la dimensión del espacio cociente W / T ( V ) es simplemente la dimensión del espacio menos la dimensión de la imagen.
Como ejemplo simple, considere la función T : R 2 → R 2 , dada por T ( x , y ) = (0, y ) . Entonces, para que una ecuación T ( x , y ) = ( a , b ) tenga una solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de solución es ( x , b ) , o equivalentemente, (0, b ) + ( x , 0) , (un grado de libertad). El núcleo puede expresarse como el subespacio ( x , 0) ⊆ V : el valor de x es la libertad en una solución. El cokernel puede expresarse mediante la función de valor real W : ( a , b ) → ( a ) : dado un vector ( a , b ) , el valor de a es la obstrucción para que haya una solución.
Además, el cokernel puede considerarse como algo que "detecta" sobreyecciones de la misma manera que el kernel "detecta" inyecciones . Una función es inyectiva si y solo si su kernel es trivial, y una función es sobreyectiva si y solo si su cokernel es trivial, o en otras palabras, si W = im( T ) .
