Simetría diedral en tres dimensiones

En geometría , la simetría diedral en tres dimensiones es una de tres secuencias infinitas de grupos de puntos en tres dimensiones que tienen un grupo de simetría que como grupo abstracto es un grupo diedro Dih _n (para n ≥ 2).

Tipos

Hay tres tipos de simetría diedro en tres dimensiones, cada uno de los cuales se muestra a continuación en tres notaciones: notación de Schönflies , notación de Coxeter y notación orbifold .

Quiral

D _n , [ n ,2] ⁺ , (22 n ) de orden 2 n – simetría diedral o grupo para-n-gonal (grupo abstracto: Dih _n ).

Aquiral

D _nh , [ n ,2], (*22 n ) de orden 4 n – simetría prismática o grupo orto-n-gonal completo (grupo abstracto: Dih _n × Z ₂ ).
D _nd (o D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) de orden 4 n – simetría antiprismática o grupo giro-n-gonal completo (grupo abstracto: Dih _{2 n} ).

Para un n dado , los tres tienen simetría rotacional n -fold sobre un eje ( la rotación en un ángulo de 360°/ n no cambia el objeto), y simetría rotacional 2-fold sobre un eje perpendicular, por lo tanto sobre n de ellos. Para n = ∞, corresponden a tres grupos de Frieze . Se utiliza la notación de Schönflies , con la notación de Coxeter entre corchetes y la notación orbifold entre paréntesis. El término horizontal (h) se utiliza con respecto a un eje de rotación vertical.

En 2D, el grupo de simetría D _n incluye reflexiones en líneas. Cuando el plano 2D está incrustado horizontalmente en un espacio 3D, dicha reflexión puede verse como la restricción a ese plano de una reflexión a través de un plano vertical, o como la restricción al plano de una rotación alrededor de la línea de reflexión, de 180°. En 3D, se distinguen las dos operaciones: el grupo D _n contiene solo rotaciones, no reflexiones. El otro grupo es la simetría piramidal C _nv del mismo orden, 2 n .

Con simetría de reflexión en un plano perpendicular al eje de rotación n -fold, tenemos D _nh , [n], (*22 n ).

D _nd (o D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) tiene planos de simetría verticales entre los ejes de rotación horizontales, no a través de ellos. Como resultado, el eje vertical es un eje de rotorreflexión de 2 n pliegues .

D _nh es el grupo de simetría de un prisma regular de n lados y también de una bipirámide regular de n lados . D _nd es el grupo de simetría de un antiprisma regular de n lados y también de un trapezoedro regular de n lados . D _n es el grupo de simetría de un prisma parcialmente rotado.

n = 1 no se incluye porque las tres simetrías son iguales a las otras:

D ₁ y C ₂ : grupo de orden 2 con una única rotación de 180°.
D _{1 h} y C _{2 v} : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° alrededor de una recta en ese plano.
D _{1 d} y C _{2 h} : grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° alrededor de una línea perpendicular a ese plano.

Para n = 2 no hay un eje principal y dos ejes adicionales, sino tres equivalentes.

D ₂ , [2,2] ⁺ , (222) de orden 4 es uno de los tres tipos de grupos de simetría con el cuatrigrupo de Klein como grupo abstracto. Tiene tres ejes de rotación 2x perpendiculares. Es el grupo de simetría de un cuboide con una S escrita en dos caras opuestas, en la misma orientación.
D _{2 h} , [2,2], (*222) de orden 8 es el grupo de simetría de un cuboide.
D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2*2) de orden 8 es el grupo de simetría de por ejemplo:
- Un cuboide cuadrado con una diagonal dibujada en una cara cuadrada y una diagonal perpendicular en la otra.
- Un tetraedro regular escalado en la dirección de una línea que conecta los puntos medios de dos aristas opuestas ( D _{2 d} es un subgrupo de T d ; al escalar, reducimos la simetría).

Subgrupos

Para D _nh , [n,2], (*22n), orden 4n

C _nh , [n ⁺ ,2], (n*), orden 2n
C _nv , [n,1], (*nn), orden 2n
D _n , [n,2] ⁺ , (22n), orden 2n

Para D _nd , [2n,2 ⁺ ], (2*n), orden 4n

S _{2 n} , [2n ⁺ ,2 ⁺ ], (n×), orden 2n
C _nv , [n ⁺ ,2], (n*), orden 2n
D _n , [n,2] ⁺ , (22n), orden 2n

D _nd también es un subgrupo de D _{2 nh} .

Ejemplos

D _nh , [ n ], (*22 n ):

D _{5 h} , [5], (*225):

D _{4 d} , [8,2 ⁺ ], (2*4):

D _{5 d} , [10,2 ⁺ ], (2*5):

D _{17 d} , [34,2 ⁺ ], (2*17):

Véase también

Referencias

Coxeter , HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos de Coxeter esféricos
Conway, John Horton ; Huson, Daniel H. (2002), "La notación orbifold para grupos bidimensionales", Química estructural , 13 (3), Springer Netherlands: 247–257, doi :10.1023/A:1015851621002, S2CID 33947139

Enlaces externos

Resumen gráfico de los 32 grupos puntuales cristalográficos: forman las primeras partes (aparte de omitir n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos puntuales 3D separados