Cinemática

Rama de la física que describe el movimiento de los objetos sin considerar fuerzas.

La cinemática es un subcampo de la física y las matemáticas , desarrollado en la mecánica clásica , que describe el movimiento de puntos, cuerpos (objetos) y sistemas de cuerpos (grupos de objetos) sin considerar las fuerzas que los hacen moverse. ^{[1] [2] [3]} La cinemática, como campo de estudio, a menudo se conoce como la "geometría del movimiento" y, en ocasiones, se considera una rama tanto de las matemáticas aplicadas como de las puras , ya que se puede estudiar sin considerar la masa de un cuerpo o las fuerzas que actúan sobre él. ^{[4] [5] [6]} Un problema de cinemática comienza describiendo la geometría del sistema y declarando las condiciones iniciales de cualquier valor conocido de posición, velocidad y/o aceleración de puntos dentro del sistema. Luego, utilizando argumentos de la geometría, se puede determinar la posición, la velocidad y la aceleración de cualquier parte desconocida del sistema. El estudio de cómo actúan las fuerzas sobre los cuerpos cae dentro de la cinética , no de la cinemática. Para más detalles, consulte dinámica analítica .

La cinemática se utiliza en astrofísica para describir el movimiento de los cuerpos celestes y conjuntos de estos cuerpos. En ingeniería mecánica , robótica y biomecánica , ^[7] la cinemática se utiliza para describir el movimiento de sistemas compuestos de partes unidas (sistemas multienlace) como un motor , un brazo robótico o el esqueleto humano .

Las transformaciones geométricas, también llamadas transformaciones rígidas , se utilizan para describir el movimiento de los componentes de un sistema mecánico , simplificando la derivación de las ecuaciones de movimiento. También son fundamentales para el análisis dinámico .

El análisis cinemático es el proceso de medición de las magnitudes cinemáticas que se utilizan para describir el movimiento. En ingeniería, por ejemplo, el análisis cinemático se puede utilizar para encontrar el rango de movimiento de un mecanismo determinado y, trabajando a la inversa, utilizando la síntesis cinemática para diseñar un mecanismo para un rango de movimiento deseado. ^[8] Además, la cinemática aplica la geometría algebraica al estudio de la ventaja mecánica de un sistema o mecanismo mecánico.

Etimología

El término cinemático es la versión inglesa de cinématique de AM Ampère , ^[9] que construyó a partir del griego κίνημα kinema ("movimiento, movimiento"), derivado a su vez de κινεῖν kinein ("mover"). ^{[10] [11]}

Cinemática y cinematográfico están relacionadas con la palabra francesa cinéma, pero ninguna de ellas se deriva directamente de ella. Sin embargo, comparten una raíz común, ya que cinéma proviene de la forma abreviada de cinématographe, "proyector y cámara de películas", una vez más de la palabra griega para movimiento y del griego γρᾰ́φω grapho ("escribir"). ^[12]

Cinemática de la trayectoria de una partícula en un marco de referencia no giratorio

Magnitudes cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio bidimensional, sino a un plano de cualquier dimensión superior.

La cinemática de partículas es el estudio de la trayectoria de las partículas. La posición de una partícula se define como el vector de coordenadas desde el origen de un sistema de coordenadas hasta la partícula. Por ejemplo, considere una torre a 50 m al sur de su casa, donde el sistema de coordenadas está centrado en su casa, de modo que el este está en la dirección del eje x y el norte está en la dirección del eje y , entonces el vector de coordenadas hasta la base de la torre es r = (0 m, −50 m, 0 m). Si la torre tiene 50 m de altura y esta altura se mide a lo largo del eje z , entonces el vector de coordenadas hasta la parte superior de la torre es r = (0 m, −50 m, 50 m).

En el caso más general, se utiliza un sistema de coordenadas tridimensional para definir la posición de una partícula. Sin embargo, si la partícula está obligada a moverse dentro de un plano, basta con un sistema de coordenadas bidimensional. Todas las observaciones en física están incompletas si no se describen con respecto a un sistema de referencia.

El vector de posición de una partícula es un vector dibujado desde el origen del sistema de referencia hasta la partícula. Expresa tanto la distancia del punto desde el origen como su dirección desde el origen. En tres dimensiones, el vector de posición se puede expresar como donde , , y son las coordenadas cartesianas y , y son los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas , , y , respectivamente. La magnitud del vector de posición da la distancia entre el punto y el origen. Los cosenos directores del vector de posición proporcionan una medida cuantitativa de la dirección. En general, el vector de posición de un objeto dependerá del sistema de referencia; sistemas diferentes darán lugar a valores diferentes para el vector de posición. ${\displaystyle {\bf {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

La trayectoria de una partícula es una función vectorial del tiempo, , que define la curva trazada por la partícula en movimiento, dada por donde , , y describen cada coordenada de la posición de la partícula en función del tiempo. ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle z(t)}$

La distancia recorrida es siempre mayor o igual al desplazamiento.

Velocidad y rapidez

La velocidad de una partícula es una cantidad vectorial que describe la dirección y la magnitud del movimiento de la partícula. Más matemáticamente, la tasa de cambio del vector de posición de un punto con respecto al tiempo es la velocidad del punto. Considere la relación formada al dividir la diferencia de dos posiciones de una partícula ( desplazamiento ) por el intervalo de tiempo. Esta relación se llama velocidad promedio durante ese intervalo de tiempo y se define como donde es el vector de desplazamiento durante el intervalo de tiempo . En el límite en el que el intervalo de tiempo se acerca a cero, la velocidad promedio se acerca a la velocidad instantánea, definida como la derivada temporal del vector de posición. Por lo tanto, la velocidad de una partícula es la tasa temporal de cambio de su posición. Además, esta velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en cada posición a lo largo de su camino. En un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de las coordenadas no se consideran ya que sus direcciones y magnitudes son constantes. $${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

La rapidez de un objeto es la magnitud de su velocidad. Es una cantidad escalar: donde es la longitud de arco medida a lo largo de la trayectoria de la partícula. Esta longitud de arco siempre debe aumentar a medida que la partícula se mueve. Por lo tanto, es no negativo, lo que implica que la rapidez también es no negativa. $${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{d}}s/{\text{d}}t}$

Aceleración

El vector de velocidad puede cambiar en magnitud y en dirección o ambas a la vez. Por lo tanto, la aceleración representa tanto la tasa de cambio de la magnitud del vector de velocidad como la tasa de cambio de dirección de ese vector. El mismo razonamiento utilizado con respecto a la posición de una partícula para definir la velocidad, se puede aplicar a la velocidad para definir la aceleración. La aceleración de una partícula es el vector definido por la tasa de cambio del vector de velocidad. La aceleración promedio de una partícula durante un intervalo de tiempo se define como la relación. donde Δ v es la velocidad promedio y Δ t es el intervalo de tiempo. $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$

La aceleración de la partícula es el límite de la aceleración media a medida que el intervalo de tiempo se acerca a cero, que es la derivada del tiempo, $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Alternativamente, $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Por lo tanto, la aceleración es la primera derivada del vector de velocidad y la segunda derivada del vector de posición de esa partícula. En un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de las coordenadas no se consideran, ya que sus direcciones y magnitudes son constantes.

La magnitud de la aceleración de un objeto es la magnitud | a | de su vector de aceleración. Es una cantidad escalar: $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

Vector de posición relativa

Un vector de posición relativa es un vector que define la posición de un punto con respecto a otro. Es la diferencia de posición de los dos puntos. La posición de un punto A con respecto a otro punto B es simplemente la diferencia entre sus posiciones.

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

cual es la diferencia entre los componentes de sus vectores de posición.

Si el punto A tiene componentes de posición ${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

y el punto B tiene componentes de posición ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

entonces la posición del punto A con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

Velocidad relativa

Velocidades relativas entre dos partículas en la mecánica clásica.

La velocidad de un punto con respecto a otro es simplemente la diferencia entre sus velocidades , que es la diferencia entre los componentes de sus velocidades. $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$

Si el punto A tiene componentes de velocidad y el punto B tiene componentes de velocidad , entonces la velocidad del punto A relativa al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la derivada temporal del vector de posición relativa r _B/A .

Aceleración relativa

La aceleración de un punto C con respecto a otro punto B es simplemente la diferencia entre sus aceleraciones, que es la diferencia entre los componentes de sus aceleraciones. $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$

Si el punto C tiene componentes de aceleración y el punto B tiene componentes de aceleración , entonces la aceleración del punto C con respecto al punto B es la diferencia entre sus componentes: ${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse calculando la segunda derivada temporal del vector de posición relativa r _B/A . ^[13]

Suponiendo que se conocen las condiciones iniciales de la posición, y la velocidad en el tiempo , la primera integración da como resultado la velocidad de la partícula en función del tiempo. ^[a] ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} \,{\text{d}}\tau =\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t.}$$

Una segunda integración produce su camino (trayectoria), $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {v} (\tau )\,{\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right){\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.}$$

Se pueden derivar relaciones adicionales entre desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. Como la aceleración es constante, se puede sustituir en la ecuación anterior para obtener: $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

Se puede obtener una relación entre velocidad, posición y aceleración sin dependencia explícita del tiempo resolviendo la aceleración promedio para el tiempo y sustituyendo y simplificando.

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$donde denota el producto escalar , lo cual es apropiado ya que los productos son escalares en lugar de vectores. ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

El producto escalar se puede reemplazar por el coseno del ángulo α entre los vectores (ver Interpretación geométrica del producto escalar para más detalles) y los vectores por sus magnitudes, en cuyo caso: $${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

En el caso de la aceleración siempre en la dirección del movimiento y la dirección del movimiento debe ser positiva o negativa, el ángulo entre los vectores ( α ) es 0, por lo que , y Esto se puede simplificar utilizando la notación para las magnitudes de los vectores ^{[ cita requerida ]} donde puede ser cualquier camino curvilíneo tomado a medida que se aplica la aceleración tangencial constante a lo largo de ese camino ^{[ cita requerida ]} , por lo que ${\displaystyle \cos 0=1}$ $${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$ ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$ ${\displaystyle \Delta r}$ $${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

Esto reduce las ecuaciones paramétricas de movimiento de la partícula a una relación cartesiana de velocidad versus posición. Esta relación es útil cuando se desconoce el tiempo. También sabemos que o es el área bajo un gráfico de velocidad-tiempo. ^[15] ${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$ ${\displaystyle \Delta r}$

Gráfico de física de velocidad y tiempo

Podemos tomar sumando el área superior y el área inferior. El área inferior es un rectángulo, y el área de un rectángulo es donde es el ancho y es la altura. En este caso y ( aquí es diferente de la aceleración ). Esto significa que el área inferior es . Ahora encontremos el área superior (un triángulo). El área de un triángulo es donde es la base y es la altura. ^[16] En este caso, y o . Sumando y se obtiene la ecuación se obtiene la ecuación . ^[17] Esta ecuación es aplicable cuando se desconoce la velocidad final v . ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=t}$ ${\displaystyle B=v_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle tv_{0}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B=t}$ ${\displaystyle H=at}$ ${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle v_{0}t}$ ${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

Figura 2: Velocidad y aceleración para movimiento circular no uniforme: el vector de velocidad es tangencial a la órbita, pero el vector de aceleración no es radialmente hacia adentro debido a su componente tangencial a _θ que aumenta la velocidad de rotación: d ω /d t = | a _θ |/ R .

Trayectorias de partículas en coordenadas cilíndricas-polares

A menudo es conveniente formular la trayectoria de una partícula r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) utilizando coordenadas polares en el plano X – Y. En este caso, su velocidad y aceleración toman una forma conveniente.

Recordemos que la trayectoria de una partícula P está definida por su vector de coordenadas r medido en un marco de referencia fijo F . A medida que la partícula se mueve, su vector de coordenadas r ( t ) traza su trayectoria, que es una curva en el espacio, dada por: donde x̂ , ŷ y ẑ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes x , y y z del marco de referencia F , respectivamente. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

Consideremos una partícula P que se mueve únicamente sobre la superficie de un cilindro circular r ( t ) = constante, es posible alinear el eje z del marco fijo F con el eje del cilindro. Entonces, el ángulo θ alrededor de este eje en el plano x – y se puede utilizar para definir la trayectoria como, donde la distancia constante desde el centro se denota como r , y θ ( t ) es una función del tiempo. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

Las coordenadas cilíndricas para r ( t ) se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios radial y tangencial, y sus derivadas temporales del cálculo elemental: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }},\quad {\hat {\mathbf {\theta } }}=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t}}=\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(\omega {\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=\alpha {\hat {\mathbf {\theta } }}-\omega {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t}}=-\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(-\theta {\hat {\mathbf {r} }})}{{\text{d}}t}}=-\alpha {\hat {\mathbf {r} }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$

Usando esta notación, r ( t ) toma la forma, En general, la trayectoria r ( t ) no está restringida a estar sobre un cilindro circular, por lo que el radio R varía con el tiempo y la trayectoria de la partícula en coordenadas cilíndricas-polares se convierte en: Donde r , θ y z podrían ser funciones continuamente diferenciables del tiempo y la notación de función se elimina por simplicidad. El vector de velocidad v _P es la derivada temporal de la trayectoria r ( t ), lo que da: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r(t){\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=v{\hat {\mathbf {r} }}+r\mathbf {\omega } {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v({\hat {\mathbf {r} }}+{\hat {\mathbf {\theta } }})+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

De manera similar, la aceleración a _P , que es la derivada temporal de la velocidad v _P , viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\hat {\mathbf {r} }}+v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\right)=(a-v\theta ){\hat {\mathbf {r} }}+(a+v\omega ){\hat {\mathbf {\theta } }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

El término que actúa hacia el centro de curvatura de la trayectoria en ese punto de la misma se denomina comúnmente aceleración centrípeta . El término se denomina aceleración de Coriolis . ${\displaystyle -v\theta {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle v\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}$

Radio constante

Si la trayectoria de la partícula se limita a un cilindro, entonces el radio r es constante y los vectores de velocidad y aceleración se simplifican. La velocidad de v _P es la derivada temporal de la trayectoria r ( t ), $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

Trayectorias circulares planas

Cada partícula de la rueda se desplaza en una trayectoria circular plana (Cinemática de la maquinaria, 1876). ^[18]

Un caso especial de trayectoria de una partícula en un cilindro circular se produce cuando no hay movimiento a lo largo del eje z : donde r y z ₀ son constantes. En este caso, la velocidad v _P viene dada por: donde es la velocidad angular del vector unitario θ ^{^} alrededor del eje z del cilindro. $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$ ${\displaystyle \omega }$

La aceleración a _P de la partícula P ahora viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

Las componentes se denominan, respectivamente, componentes radial y tangencial de la aceleración. $${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$

La notación para la velocidad angular y la aceleración angular a menudo se define como , por lo que los componentes de aceleración radial y tangencial para trayectorias circulares también se escriben como $${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$ $${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

Trayectorias puntuales en un cuerpo que se mueve en el plano

El movimiento de los componentes de un sistema mecánico se analiza fijando un marco de referencia a cada parte y determinando cómo se mueven los distintos marcos de referencia entre sí. Si la rigidez estructural de las partes es suficiente, se puede despreciar su deformación y se pueden utilizar transformaciones rígidas para definir este movimiento relativo. Esto reduce la descripción del movimiento de las distintas partes de un sistema mecánico complicado a un problema de descripción de la geometría de cada parte y la asociación geométrica de cada parte con respecto a otras partes.

La geometría es el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen invariables mientras el espacio se transforma de diversas maneras; más técnicamente, es el estudio de las invariantes bajo un conjunto de transformaciones. ^[19] Estas transformaciones pueden provocar el desplazamiento del triángulo en el plano, mientras que el ángulo del vértice y las distancias entre los vértices permanecen inalterados. La cinemática a menudo se describe como geometría aplicada, donde el movimiento de un sistema mecánico se describe utilizando las transformaciones rígidas de la geometría euclidiana.

Las coordenadas de los puntos en un plano son vectores bidimensionales en R ² (espacio bidimensional). Las transformaciones rígidas son aquellas que preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera. El conjunto de transformaciones rígidas en un espacio n -dimensional se denomina grupo euclidiano especial en R ⁿ y se denota SE( n ) .

Desplazamientos y movimiento

El movimiento de cada uno de los componentes de la máquina de vapor Boulton & Watt (1784) está modelado por un conjunto continuo de desplazamientos rígidos.

La posición de un componente de un sistema mecánico con respecto a otro se define introduciendo un sistema de referencia, por ejemplo M , en uno de ellos que se mueve con respecto a un sistema fijo, F, en el otro. La transformación rígida, o desplazamiento, de M con respecto a F define la posición relativa de los dos componentes. Un desplazamiento consiste en la combinación de una rotación y una traslación .

El conjunto de todos los desplazamientos de M con respecto a F se denomina espacio de configuración de M. Una curva suave de una posición a otra en este espacio de configuración es un conjunto continuo de desplazamientos, denominado movimiento de M con respecto a F. El movimiento de un cuerpo consiste en un conjunto continuo de rotaciones y traslaciones.

Representación matricial

La combinación de una rotación y una traslación en el plano R ² se puede representar mediante un cierto tipo de matriz 3×3 conocida como transformada homogénea. La transformada homogénea 3×3 se construye a partir de una matriz de rotación 2×2 A ( φ ) y el vector de traslación 2×1 d = ( d _x , d _y ), como: Estas transformadas homogéneas realizan transformaciones rígidas en los puntos del plano z = 1, es decir, en puntos con coordenadas r = ( x , y , 1). $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

En particular, dejemos que r defina las coordenadas de los puntos en un sistema de referencia M coincidente con un sistema fijo F. Entonces, cuando el origen de M se desplaza por el vector de traslación d con respecto al origen de F y se rota por el ángulo φ con respecto al eje x de F , las nuevas coordenadas en F de los puntos en M se dan por: $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Las transformaciones homogéneas representan transformaciones afines . Esta formulación es necesaria porque una traslación no es una transformación lineal de R ² . Sin embargo, utilizando la geometría proyectiva, de modo que R ² se considere un subconjunto de R ³ , las traslaciones se convierten en transformaciones lineales afines. ^[20]

Traducción pura

Si un cuerpo rígido se mueve de manera que su sistema de referencia M no gira ( θ = 0) con respecto al sistema fijo F , el movimiento se denomina traslación pura. En este caso, la trayectoria de cada punto del cuerpo es un desplazamiento de la trayectoria d ( t ) del origen de M, es decir: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}$$

Así, para cuerpos en traslación pura, la velocidad y la aceleración de cada punto P en el cuerpo están dadas por: donde el punto denota la derivada con respecto al tiempo y v _O y a _O son la velocidad y la aceleración, respectivamente, del origen del marco móvil M . Recordemos que el vector de coordenadas p en M es constante, por lo que su derivada es cero. $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},}$$

Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo

Figura 1: El vector de velocidad angular Ω apunta hacia arriba para la rotación en sentido antihorario y hacia abajo para la rotación en sentido horario, como se especifica en la regla de la mano derecha . La posición angular θ ( t ) cambia con el tiempo a una tasa ω ( t ) = d θ /d t .

La cinemática rotacional o angular es la descripción de la rotación de un objeto. ^[21] En lo que sigue, la atención se limita a la rotación simple sobre un eje de orientación fija. Se ha elegido el eje z por conveniencia.

Posición

Esto permite la descripción de una rotación como la posición angular de un marco de referencia plano M con respecto a un F fijo sobre este eje z compartido . Las coordenadas p = ( x , y ) en M están relacionadas con las coordenadas P = (X, Y) en F por la ecuación matricial: $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

donde es la matriz de rotación que define la posición angular de M con respecto a F en función del tiempo. $${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$

Velocidad

Si el punto p no se mueve en M , su velocidad en F viene dada por Conviene eliminar las coordenadas p y escribir esto como una operación sobre la trayectoria P ( t ), donde la matriz se conoce como matriz de velocidad angular de M relativa a F . El parámetro ω es la derivada temporal del ángulo θ , es decir: $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ $${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

Aceleración

La aceleración de P ( t ) en F se obtiene como la derivada temporal de la velocidad, que se convierte en donde es la matriz de aceleración angular de M en F , y $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ $${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

La descripción de la rotación implica entonces estas tres cantidades:

• Posición angular : la distancia orientada desde un origen seleccionado en el eje de rotación hasta un punto de un objeto es un vector r ( t ) que ubica el punto. El vector r ( t ) tiene alguna proyección (o, equivalentemente, algún componente) r _⊥ ( t ) en un plano perpendicular al eje de rotación. Entonces, la posición angular de ese punto es el ángulo θ desde un eje de referencia (normalmente el eje x positivo ) hasta el vector r _⊥ ( t ) en un sentido de rotación conocido (normalmente dado por la regla de la mano derecha ).
• Velocidad angular : la velocidad angular ω es la velocidad a la que la posición angular θ cambia con respecto al tiempo t : La velocidad angular está representada en la Figura 1 por un vector Ω que apunta a lo largo del eje de rotación con magnitud ω y sentido determinado por la dirección de rotación según lo dado por la regla de la mano derecha . $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$
• Aceleración angular : la magnitud de la aceleración angular α es la tasa a la que la velocidad angular ω cambia con respecto al tiempo t : $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

Las ecuaciones de la cinemática traslacional se pueden extender fácilmente a la cinemática rotacional plana para una aceleración angular constante con intercambios de variables simples: $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$ $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

Aquí θ _i y θ _f son, respectivamente, las posiciones angulares inicial y final, ω _i y ω _f son, respectivamente, las velocidades angulares inicial y final, y α es la aceleración angular constante. Aunque la posición en el espacio y la velocidad en el espacio son vectores verdaderos (en términos de sus propiedades bajo rotación), al igual que la velocidad angular, el ángulo en sí no es un vector verdadero.

Trayectorias puntuales en cuerpos que se mueven en tres dimensiones

Las fórmulas importantes de la cinemática definen la velocidad y la aceleración de los puntos de un cuerpo en movimiento a medida que trazan trayectorias en el espacio tridimensional. Esto es particularmente importante para el centro de masa de un cuerpo, que se utiliza para derivar ecuaciones de movimiento utilizando la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Lagrange .

Posición

Para definir estas fórmulas, el movimiento de un componente B de un sistema mecánico se define por el conjunto de rotaciones [A( t )] y traslaciones d ( t ) ensambladas en la transformación homogénea [T( t )]=[A( t ), d ( t )]. Si p son las coordenadas de un punto P en B medidas en el sistema de referencia móvil M , entonces la trayectoria de este punto trazada en F está dada por: Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1), y P = (X, Y, Z), lo cual es de esperar que quede claro en el contexto. $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Esta ecuación para la trayectoria de P se puede invertir para calcular el vector de coordenadas p en M como: Esta expresión utiliza el hecho de que la transpuesta de una matriz de rotación es también su inversa, es decir: $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

Velocidad

La velocidad del punto P a lo largo de su trayectoria P ( t ) se obtiene como la derivada temporal de este vector de posición. El punto denota la derivada con respecto al tiempo; como p es constante, su derivada es cero. $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Esta fórmula se puede modificar para obtener la velocidad de P operando sobre su trayectoria P ( t ) medida en el marco fijo F . Sustituyendo la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad se obtiene: La matriz [ S ] está dada por: donde es la matriz de velocidad angular. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$

Multiplicando por el operador [ S ], la fórmula para la velocidad v _P toma la forma: donde el vector ω es el vector de velocidad angular obtenido a partir de los componentes de la matriz [Ω]; el vector es la posición de P relativa al origen O del marco móvil M ; y es la velocidad del origen O . $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$

Aceleración

La aceleración de un punto P en un cuerpo en movimiento B se obtiene como la derivada temporal de su vector velocidad: $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

Esta ecuación se puede ampliar primero calculando y $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

La fórmula para la aceleración AP ahora se puede obtener como: o donde α es el vector de aceleración angular _obtenido de la derivada de la matriz de velocidad angular; es el vector de posición relativa (la posición de P relativa al origen O del marco móvil M ); y es la aceleración del origen del marco móvil M . $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$

Restricciones cinemáticas

Las restricciones cinemáticas son restricciones al movimiento de los componentes de un sistema mecánico. Se puede considerar que las restricciones cinemáticas tienen dos formas básicas: (i) restricciones que surgen de las bisagras, deslizadores y juntas de leva que definen la construcción del sistema, llamadas restricciones holonómicas , y (ii) restricciones impuestas a la velocidad del sistema, como la restricción del filo de cuchillo de los patines de hielo sobre una superficie plana, o la rodadura sin deslizamiento de un disco o esfera en contacto con un plano, que se denominan restricciones no holonómicas . A continuación se presentan algunos ejemplos comunes.

Acoplamiento cinemático

Un acoplamiento cinemático restringe exactamente los 6 grados de libertad.

Rodando sin resbalar

Un objeto que rueda contra una superficie sin resbalar obedece la condición de que la velocidad de su centro de masa es igual al producto vectorial de su velocidad angular por un vector desde el punto de contacto hasta el centro de masa: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

Para el caso de un objeto que no se inclina ni gira, esto se reduce a . ${\displaystyle v=r\omega }$

Cordón inextensible

Este es el caso en el que los cuerpos están conectados por una cuerda idealizada que permanece en tensión y no puede cambiar de longitud. La restricción es que la suma de las longitudes de todos los segmentos de la cuerda es la longitud total y, en consecuencia, la derivada temporal de esta suma es cero. ^{[22] [23] [24]} Un problema dinámico de este tipo es el péndulo . Otro ejemplo es un tambor que gira por la atracción de la gravedad sobre un peso que cae unido al borde por la cuerda inextensible. ^[25] Un problema de equilibrio (es decir, no cinemático) de este tipo es la catenaria . ^[26]

Pares cinemáticos

Reuleaux denominó pares cinemáticos a las conexiones ideales entre los componentes que forman una máquina . Distinguió entre pares superiores, que se decía que tenían contacto lineal entre los dos eslabones, y pares inferiores, que tenían contacto de área entre los eslabones. J. Phillips demuestra que existen muchas formas de construir pares que no encajan en esta clasificación simple. ^[27]

Par inferior

Un par inferior es una articulación ideal, o restricción holonómica, que mantiene el contacto entre un punto, línea o plano de un cuerpo sólido (tridimensional) en movimiento y un punto, línea o plano correspondiente en el cuerpo sólido fijo. Existen los siguientes casos:

• Un par giratorio, o articulación articulada, requiere que una línea o eje en el cuerpo móvil permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo, y que un plano perpendicular a esta línea en el cuerpo móvil mantenga contacto con un plano perpendicular similar en el cuerpo fijo. Esto impone cinco restricciones al movimiento relativo de los eslabones, que por lo tanto tiene un grado de libertad, que es pura rotación alrededor del eje de la articulación.
• Una articulación prismática , o corredera, requiere que una línea, o eje, en el cuerpo móvil permanezca colineal con una línea en el cuerpo fijo, y que un plano paralelo a esta línea en el cuerpo móvil mantenga contacto con un plano paralelo similar en el cuerpo fijo. Esto impone cinco restricciones al movimiento relativo de los eslabones, que por lo tanto tiene un grado de libertad. Este grado de libertad es la distancia de la corredera a lo largo de la línea.
• Una articulación cilíndrica requiere que una línea o eje del cuerpo móvil permanezca colineal con una línea del cuerpo fijo. Es una combinación de una articulación giratoria y una articulación deslizante. Esta articulación tiene dos grados de libertad. La posición del cuerpo móvil está definida tanto por la rotación como por el deslizamiento a lo largo del eje.
• Una articulación esférica, o rótula, requiere que un punto del cuerpo móvil mantenga contacto con un punto del cuerpo fijo. Esta articulación tiene tres grados de libertad.
• Una articulación plana requiere que un plano del cuerpo en movimiento mantenga contacto con un plano del cuerpo fijo. Esta articulación tiene tres grados de libertad.

Pares superiores

En términos generales, un par superior es una restricción que requiere que una curva o superficie en el cuerpo móvil mantenga contacto con una curva o superficie en el cuerpo fijo. Por ejemplo, el contacto entre una leva y su seguidor es un par superior llamado junta de leva . De manera similar, el contacto entre las curvas evolventes que forman los dientes engranados de dos engranajes son juntas de leva.

Cadenas cinemáticas

Ilustración de un mecanismo articulado de cuatro barras de Kinematics of Machinery, 1876

Los cuerpos rígidos ("eslabones") conectados por pares cinemáticos ("articulaciones") se conocen como cadenas cinemáticas . Los mecanismos y robots son ejemplos de cadenas cinemáticas. El grado de libertad de una cadena cinemática se calcula a partir del número de eslabones y el número y tipo de articulaciones utilizando la fórmula de movilidad . Esta fórmula también se puede utilizar para enumerar las topologías de cadenas cinemáticas que tienen un grado de libertad determinado, lo que se conoce como síntesis de tipos en el diseño de máquinas.

Ejemplos

Los eslabones planos de un grado de libertad ensamblados a partir de eslabones N y bisagras j o juntas deslizantes son:

• N = 2, j = 1: un enlace de dos barras que es la palanca;
• N = 4, j = 4: el enlace de cuatro barras ;
• N = 6, j = 7: un enlace de seis barras . Debe tener dos enlaces ("enlaces ternarios") que soporten tres juntas. Hay dos topologías distintas que dependen de cómo se conectan los dos enlaces ternarios. En la topología de Watt , los dos enlaces ternarios tienen una junta común; en la topología de Stephenson , los dos enlaces ternarios no tienen una junta común y están conectados por enlaces binarios. ^[28]
• N = 8, j = 10: enlace de ocho barras con 16 topologías diferentes;
• N = 10, j = 13: enlace de diez barras con 230 topologías diferentes;
• N = 12, j = 16: enlace de doce barras con 6.856 topologías.

Para cadenas más grandes y sus topologías de enlace, consulte RP Sunkari y LC Schmidt , "Síntesis estructural de cadenas cinemáticas planas mediante la adaptación de un algoritmo de tipo Mckay", Mechanism and Machine Theory #41, págs. 1021–1030 (2006).

Véase también

• Abstención
• Aceleración
• Geometría afín § Cinemática
• Mecánica analítica
• Mecánica aplicada
• Mecánica celeste
• Fuerza centrípeta
• Mecánica clásica
• Distancia
• Dinámica (física)
• Fuerza ficticia
• Cinemática directa
• Enlace de cuatro barras
• Cinemática inversa
• Imbécil (física)
• Leyes de Kepler
• Acoplamiento cinemático
• Diagrama cinemático
• Síntesis cinemática
• Cinética (física)
• Movimiento (física)
• Mecánica orbital
• Estática
• Velocidad
• Cinemática integral
• Criterio de Chebychev-Grübler-Kutzbach

Referencias

1. Edmund Taylor Whittaker (1904). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . Cambridge University Press. Capítulo 1. ISBN 0-521-35883-3.
2. Joseph Stiles Beggs (1983). Cinemática. Taylor & Francis. pág. 1. ISBN 0-89116-355-7.
3. Thomas Wallace Wright (1896). Elementos de mecánica, incluyendo cinemática, cinética y estática. E y FN Spon. Capítulo 1.
4. Russell C. Hibbeler (2009). "Cinemática y cinética de una partícula". Ingeniería mecánica: dinámica (12.ª ed.). Prentice Hall. pág. 298. ISBN 978-0-13-607791-6.
5. Ahmed A. Shabana (2003). "Cinemática de referencia". Dinámica de sistemas multicuerpo (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54411-5.
6. PP Teodorescu (2007). "Cinemática". Sistemas mecánicos, modelos clásicos: mecánica de partículas . Springer. pág. 287. ISBN 978-1-4020-5441-9..
7. A. Biewener (2003). Locomoción de animales. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 019850022X.
8. JM McCarthy y GS Soh, 2010, Diseño geométrico de vínculos, Springer, Nueva York.
9. Ampère, André-Marie (1834). Ensayo sobre la filosofía de las ciencias. Chez Bachelier.
10. Merz, John (1903). Una historia del pensamiento europeo en el siglo XIX. Blackwood, Londres. pp. 5.
11. O. Bottema y B. Roth (1990). Cinemática teórica. Dover Publications. Prefacio, pág. 5. ISBN 0-486-66346-9.
12. Harper, Douglas. "cine". Diccionario Etimológico Online .
13. Curso intensivo de física
14. 2.4 Integración, MIT, archivado desde el original el 13 de noviembre de 2021 , consultado el 4 de julio de 2021
15. https://www.youtube.com/watch?v=jLJLXka2wEM Curso intensivo de física integral
16. https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-area-triangle-without-right-angle.html Área de triángulos sin ángulos rectos
17. kinematics.gif (508×368) (Imagen) . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .
18. Reuleaux, F. ; Kennedy, Alex BW (1876), La cinemática de la maquinaria: esquemas de una teoría de las máquinas, Londres: Macmillan
19. Geometría: estudio de las propiedades de elementos dados que permanecen invariables ante transformaciones específicas. «Definición de geometría». Diccionario en línea Merriam-Webster. 31 de mayo de 2023.
20. Paul, Richard (1981). Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control informático de los manipuladores de robots. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0-262-16082-7.
21. R. Douglas Gregory (2006). Capítulo 16. Cambridge, Inglaterra: Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-82678-0.
22. William Thomson Kelvin y Peter Guthrie Tait (1894). Elementos de filosofía natural. Cambridge University Press. pág. 4. ISBN 1-57392-984-0.
23. William Thomson Kelvin y Peter Guthrie Tait (1894). Elementos de filosofía natural. pág. 296.
24. M. Fogiel (1980). "Problema 17-11". The Mechanics Problem Solver . Asociación de Investigación y Educación. pág. 613. ISBN 0-87891-519-2.
25. Irving Porter Church (1908). Mecánica de la ingeniería. Wiley. pág. 111. ISBN 1-110-36527-6.
26. Morris Kline (1990). El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos . Oxford University Press. pág. 472. ISBN 0-19-506136-5.
27. Phillips, Jack (2007). Freedom in Machinery, volúmenes 1 y 2 (edición reimpresa). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67331-0.
28. Tsai, Lung-Wen (2001). Diseño de mecanismos: enumeración de estructuras cinemáticas según la función (edición ilustrada). CRC Press. p. 121. ISBN 978-0-8493-0901-4.

1. Si bien se utiliza τ como variable de integración, algunos autores pueden utilizar t′ como variable de integración, aunque esto puede confundirse con la notación de Lagrange para derivadas ^[14]

Lectura adicional

• Koetsier, Teun (1994), "§8.3 Cinemática", en Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , vol. 2, Routledge , págs. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
• Moon, Francis C. (2007). Las máquinas de Leonardo Da Vinci y Franz Reuleaux, Cinemática de las máquinas desde el Renacimiento hasta el siglo XX . Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
• Eduard Study (1913) Traductor de DH Delphenich, "Fundamentos y objetivos de la cinemática analítica".

Enlaces externos

• Subprograma Java de cinemática 1D
• Physclips: Mecánica con animaciones y videoclips de la Universidad de Nueva Gales del Sur.
• Biblioteca digital de modelos cinemáticos para diseño (KMODDL), que incluye películas y fotografías de cientos de modelos funcionales de sistemas mecánicos en la Universidad de Cornell y una biblioteca de libros electrónicos con textos clásicos sobre diseño mecánico e ingeniería.
• Posicionamiento de micropulgadas con componentes cinemáticos