teorema de slutsky

Teorema en la teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad , el teorema de Slutsky extiende algunas propiedades de las operaciones algebraicas sobre secuencias convergentes de números reales a secuencias de variables aleatorias . ^[1]

El teorema lleva el nombre de Eugen Slutsky . ^[2] El teorema de Slutsky también se atribuye a Harald Cramér . ^[3]

Declaración

Sean secuencias de elementos aleatorios escalares/vectoriales/matriciales . Si converge en distribución a un elemento aleatorio y converge en probabilidad a una constante , entonces ${\displaystyle X_{n},Y_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle c}$

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$   siempre que c sea invertible,

donde denota convergencia en la distribución . ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$

Notas:

1. El requisito de que Y _n converja a una constante es importante: si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema ya no sería válido. Por ejemplo, dejemos y . La suma de todos los valores de n . Además, , pero no converge en distribución a , donde , y y son independientes. ^[4] ${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$ ${\displaystyle Y_{n}\,\xrightarrow {d} \,{\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
2. El teorema sigue siendo válido si reemplazamos todas las convergencias en distribución con convergencias en probabilidad.

Prueba

Este teorema se deriva del hecho de que si X _n converge en distribución a X e Y _n converge en probabilidad a una constante c , entonces el vector conjunto ( X _n , Y _n ) converge en distribución a ( X ,  c ) ( ver aquí ) .

A continuación aplicamos el teorema de mapeo continuo , reconociendo que las funciones g ( x , y ) =  x  +  y , g ( x , y ) =  xy y g ( x , y ) =  x y ⁻¹ son continuas (para la última función para ser continua, y tiene que ser invertible).

Ver también

• Convergencia de variables aleatorias

Referencias

1. Goldberger, Arthur S. (1964). Teoría econométrica . Nueva York: Wiley. págs. 117-120.
2. Slutsky, E. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte". Metron (en alemán). 5 (3): 3–89. JFM  51.0380.03.
3. El teorema de Slutsky también se llama teorema de Cramér según la observación 11.1 (página 249) de Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.
4. Véase Zeng, Donglin (otoño de 2018). "Teoría de muestras grandes de variables aleatorias (diapositivas de la conferencia)" (PDF) . Probabilidad avanzada e inferencia estadística I (BIOS 760) . Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill. Diapositiva 59.

Otras lecturas

• Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Inferencia estadística . Arboleda del Pacífico: Duxbury. págs. 240-245. ISBN 0-534-24312-6.
• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3ª ed.). Oxford.
• Hayashi, Fumio (2000). Econometría. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 92–93. ISBN 0-691-01018-8.