Teorema de Bertrand

Teorema de física

José Bertrand

En mecánica clásica , el teorema de Bertrand establece que entre los potenciales de fuerza central con órbitas ligadas, solo hay dos tipos de potenciales escalares de fuerza central (radiales) con la propiedad de que todas las órbitas ligadas también son órbitas cerradas . ^{[1] [2]}

El primer potencial de este tipo es una fuerza central inversamente cuadrada, como el potencial gravitacional o electrostático :

${\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}}$con fuerza . ${\displaystyle f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {k}{r^{2}}}}$

El segundo es el potencial del oscilador armónico radial :

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}}$con fuerza . ${\displaystyle f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-kr}$

El teorema lleva el nombre de su descubridor, Joseph Bertrand .

Derivación

Pequeños cambios en la potencia de la fuerza que escala con la distancia darán lugar a tipos de órbitas significativamente diferentes.

Todas las fuerzas centrales atractivas pueden producir órbitas circulares , que son órbitas naturalmente cerradas . El único requisito es que la fuerza central sea exactamente igual a la fuerza centrípeta , que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado. Las fuerzas no centrales (es decir, aquellas que dependen de las variables angulares además del radio) se ignoran aquí, ya que no producen órbitas circulares en general.

La ecuación de movimiento para el radio de una partícula de masa que se mueve en un potencial central está dada por ecuaciones de movimiento ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$

donde , y el momento angular se conserva. A modo de ejemplo, el primer término de la izquierda es cero para órbitas circulares y la fuerza aplicada hacia adentro es igual al requisito de fuerza centrípeta , como se esperaba. ${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$ ${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$ ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ ${\displaystyle mr^{2}\omega }$

La definición de momento angular permite un cambio de variable independiente de a : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},}$

dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo:

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al realizar el cambio de variables y multiplicar ambos lados por (ver también ecuación de Binet ): ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right).}$

Como se señaló anteriormente, todas las fuerzas centrales pueden producir órbitas circulares dada una velocidad inicial apropiada. Sin embargo, si se introduce alguna velocidad radial, estas órbitas no necesitan ser estables (es decir, permanecer en órbita indefinidamente) ni cerradas (regresar repetidamente exactamente al mismo camino). Aquí mostramos que una condición necesaria para órbitas no circulares estables y exactamente cerradas es una fuerza de cuadrado inverso o un potencial oscilador armónico radial. En las siguientes secciones, mostramos que esas dos leyes de fuerza producen órbitas estables y exactamente cerradas (una condición suficiente ) [no queda claro para el lector exactamente cuál es la condición suficiente].

Definir como ${\displaystyle J(u)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right),}$

donde representa la fuerza radial. El criterio para un movimiento perfectamente circular en un radio es que el primer término de la izquierda sea cero: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r_{0}}$

dónde . ${\displaystyle u_{0}\equiv 1/r_{0}}$

El siguiente paso es considerar la ecuación para pequeñas perturbaciones de órbitas perfectamente circulares. A la derecha, la función se puede desarrollar en una serie de Taylor estándar : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$

Sustituyendo esta expansión en la ecuación y restando los términos constantes obtenemos ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

que puede escribirse como

donde es una constante. debe ser no negativo; de lo contrario, el radio de la órbita variaría exponencialmente alejándose de su radio inicial. (La solución corresponde a una órbita perfectamente circular). Si se puede descuidar el lado derecho (es decir, para pequeñas perturbaciones), las soluciones son ${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J'(u_{0})}$ ${\displaystyle \beta ^{2}}$ ${\displaystyle \beta =0}$

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta ),}$

donde la amplitud es una constante de integración. Para que las órbitas sean cerradas, debe ser un número racional . Además, debe ser el mismo número racional para todos los radios, ya que no puede cambiar continuamente; los números racionales están totalmente desconectados entre sí. Utilizando la definición de junto con la ecuación ( 1 ), ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J'(u_{0})={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]{\frac {1}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=-2+{\frac {u_{0}}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=1-\beta ^{2}.}$

Dado que esto debe cumplirse para cualquier valor de , ${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=(\beta ^{2}-3){\frac {f}{r}},}$

lo que implica que la fuerza debe seguir una ley de potencia

${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}.}$

Por lo tanto, debe tener la forma general ${\displaystyle J}$

Para desviaciones más generales de la circularidad (es decir, cuando no podemos descuidar los términos de orden superior en la expansión de Taylor de ), se puede expandir en una serie de Fourier, por ejemplo, ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$

Sustituimos esto en la ecuación ( 2 ) e igualamos los coeficientes que pertenecen a la misma frecuencia, manteniendo solo los términos de orden más bajo. Como mostramos a continuación, y son más pequeños que , siendo de orden . , y todos los demás coeficientes, son al menos de orden . Esto tiene sentido, ya que todos deben desaparecer más rápido que a medida que se aproxima a una órbita circular. ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{1}^{2}}$ ${\displaystyle h_{3}}$ ${\displaystyle h_{1}^{3}}$ ${\displaystyle h_{0},h_{2},h_{3},\ldots }$ ${\displaystyle h_{1}}$

${\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{3}=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].}$

Del término, obtenemos ${\displaystyle \cos \beta \theta }$

${\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),}$

donde en el último paso sustituimos los valores de y . ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

Utilizando las ecuaciones ( 3 ) y ( 1 ), podemos calcular la segunda y tercera derivadas de evaluadas en : ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle J''(u_{0})=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}},}$

${\displaystyle J'''(u_{0})={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}.}$

Sustituyendo estos valores en la última ecuación se obtiene el resultado principal del teorema de Bertrand :

${\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0.}$

Por lo tanto, los únicos potenciales que pueden producir órbitas no circulares cerradas y estables son la ley de fuerza del inverso del cuadrado ( ) y el potencial del oscilador armónico radial ( ). La solución corresponde a órbitas perfectamente circulares, como se señaló anteriormente. ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \beta =2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Potenciales de campo clásicos

Para una ley de fuerza del cuadrado inverso, como el potencial gravitacional o electrostático , el potencial se puede escribir

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku.}$

La órbita u (θ) se puede derivar de la ecuación general

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)={\frac {km}{L^{2}}},}$

cuya solución es la constante más una senoide simple: ${\displaystyle {\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$

donde e (la excentricidad ) y θ ₀ (el desfase de fase ) son constantes de integración.

Esta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un foco en el origen; e = 0 corresponde a un círculo , 0 < e < 1 corresponde a una elipse, e = 1 corresponde a una parábola y e > 1 corresponde a una hipérbola . La excentricidad e está relacionada con la energía total E (ver vector de Laplace–Runge–Lenz ):

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}.}$

Comparando estas fórmulas se observa que E < 0 corresponde a una elipse, E = 0 corresponde a una parábola y E > 0 corresponde a una hipérbola , en particular para órbitas perfectamente circulares . ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

Oscilador armónico

Para calcular la órbita bajo un potencial de oscilador armónico radial , es más fácil trabajar con componentes r = ( x , y , z ). El potencial se puede escribir como

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).}$

La ecuación de movimiento de una partícula de masa m está dada por tres ecuaciones de Euler independientes :

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$

donde la constante debe ser positiva (es decir, k > 0) para garantizar órbitas cerradas y acotadas; de lo contrario, la partícula volará hacia el infinito . Las soluciones de estas ecuaciones simples del oscilador armónico son todas similares: ${\displaystyle \omega _{0}^{2}\equiv {\frac {k}{m}}}$

${\displaystyle x=A_{x}\cos(\omega _{0}t+\phi _{x}),}$

${\displaystyle y=A_{y}\cos(\omega _{0}t+\phi _{y}),}$

${\displaystyle z=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),}$

donde las constantes positivas A _x , A _y y A _z representan las amplitudes de las oscilaciones, y los ángulos φ _x , φ _y y φ _z representan sus fases . La órbita resultante r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] es cerrada porque se repite exactamente después de un período.

${\displaystyle T\equiv {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.}$

El sistema también es estable porque pequeñas perturbaciones en las amplitudes y fases provocan cambios correspondientemente pequeños en la órbita general.

Referencias

1. Bertrand J (1873). "Teorema relativo al movimiento de un punto de vestimenta versus un centro fijo". CR Acad. Ciencia . 77 : 849–853.
2. Johnson, Porter Wear (24 de febrero de 2010). Mecánica clásica con aplicaciones. World Scientific. pp. 149–. ISBN 9789814304153. Recuperado el 2 de diciembre de 2012 .

Lectura adicional

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Santos, FC; Soares, V.; Tort, AC (2011). "Una traducción al inglés del teorema de Bertrand". Revista Latinoamericana de Educación en Física . 5 (4): 694–696. arXiv : 0704.2396 . Código Bibliográfico :2007arXiv0704.2396S.
• Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). "Una demostración completa del teorema de Bertrand". SIAM Review . 65 (2): 563–588. doi :10.1137/21M1436658. ISSN  0036-1445. S2CID  258585586.