Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea x , y , z ∈ X. Entonces el producto de Gromov de y y z en x , denotado ( y , z ) x , se define por
Motivación
Dados tres puntos x , y , z en el espacio métrico X , por la desigualdad del triángulo existen números no negativos a , b , c tales que . Entonces los productos Gromov son . En el caso de que los puntos x , y , z sean los nodos exteriores de un trípode, entonces estos productos de Gromov son las longitudes de los bordes.
En el plano hiperbólico, esférico o euclidiano, el producto de Gromov ( A , B ) C es igual a la distancia p entre C y el punto donde la circunferencia del triángulo geodésico ABC toca la arista CB o CA. De hecho , del diagrama c = ( a – p ) + ( b – p ) , de modo que p = ( a + b – c )/2 = ( A , B ) C. Así, para cualquier espacio métrico, se obtiene una interpretación geométrica de ( A , B ) C incrustando isométricamente (A, B, C) en el plano euclidiano. [1]
Propiedades
El producto de Gromov es simétrico: ( y , z ) x = ( z , y ) x .
El producto de Gromov degenera en los puntos finales: ( y , z ) y = ( y , z ) z = 0.
Para cualquier punto p , q , x , y y z ,
Puntos al infinito
Considere el espacio hiperbólico H n . Fije un punto base p y sean y dos puntos distintos en el infinito. Entonces el limite
existe y es finito y, por lo tanto, puede considerarse como un producto de Gromov generalizado. En realidad viene dada por la fórmula
¿Dónde es el ángulo entre los rayos geodésicos y ? [2]
Espacios δ-hiperbólicos y divergencia de geodésicas.
El producto de Gromov se puede utilizar para definir espacios δ -hiperbólicos en el sentido de Gromov: ( X , d ) se dice que es δ -hiperbólico si, para todos los p , x , y y z en X ,
En este caso. El producto Gromov mide cuánto tiempo permanecen juntas las geodésicas. Es decir, si x , y y z son tres puntos de un espacio métrico hiperbólico δ , entonces los segmentos iniciales de longitud ( y , z ) x de las geodésicas de x a y y de x a z no están separados por más de 2 δ (en el sentido de la distancia de Hausdorff entre conjuntos cerrados).
Notas
^ Väisälä, Jussi (15 de septiembre de 2005). "Espacios hiperbólicos de Gromov". Exposiciones Mathematicae . 23 (3): 187–231. doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010. ISSN 0723-0869.
^ Huevas, John (2003). Conferencias sobre geometría burda . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 114.ISBN0-8218-3332-4.
Referencias
Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002). "Límites de grupos hiperbólicos". Teoría combinatoria y geométrica de grupos (Nueva York, 2000/Hoboken, Nueva Jersey, 2001) . Contemporáneo. Matemáticas. 296. Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc. págs. 39–93. SEÑOR 1921706.
Väisälä, Jussi (2005). "Espacios hiperbólicos de Gromov". Exposiciones Mathematicae . 23 (3): 187–231. doi : 10.1016/j.exmath.2005.01.010.