Lema de Doob-Dynkin

Declaración en teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad , el lema de Doob-Dynkin , que lleva el nombre de Joseph L. Doob y Eugene Dynkin (también conocido como lema de factorización ), caracteriza la situación en la que una variable aleatoria es función de otra mediante la inclusión de las -álgebras generadas por la variables aleatorias. El enunciado habitual del lema se formula en términos de que una variable aleatoria es mensurable con respecto al álgebra generada por la otra. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

El lema juega un papel importante en la expectativa condicional en la teoría de la probabilidad, donde permite reemplazar el condicionamiento de una variable aleatoria por el condicionamiento del álgebra generada por la variable aleatoria. ${\displaystyle \sigma }$

Notaciones y comentarios introductorios.

En el lema siguiente, el álgebra de Borel se establece en Si y es un espacio mensurable, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle T\colon X\to Y,}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle \sigma (T)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}}\}}$

es el álgebra más pequeña que es medible. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal {Y}}}$

Declaración del lema

Sea una función y un espacio mensurable. Una función es mensurable si y sólo si para algunos mensurable ^[1] ${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega '}$ ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle \sigma (T)/{\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle f=g\circ T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1].}$

Observación. La parte "si" simplemente establece que la composición de dos funciones mensurables es mensurable. La parte "sólo si" se demuestra a continuación.

Observación. El lema sigue siendo válido si el espacio se reemplaza por donde es biyectivo y la biyección es mensurable en ambas direcciones. ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}[0,1])}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {B}}(S)),}$ ${\displaystyle S\subseteq [-\infty ,\infty ],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [0,1],}$

Por definición, la mensurabilidad de significa que para cada conjunto de Borel. Por lo tanto , el lema puede reformularse de la siguiente manera. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle S\subseteq [0,1].}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T),}$

Lema. Sea y es un espacio mensurable. Entonces, para algunos , medible si y solo si . ${\displaystyle T\colon \Omega \rightarrow \Omega ',}$ ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow [0,1],}$ ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ ${\displaystyle f=g\circ T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]}$ ${\displaystyle g\colon \Omega '\to [0,1],}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$

Ver también

• Expectativa condicional

Referencias

1. Kallenberg, Olav (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Saltador. pag. 7.ISBN​ 0-387-94957-7.

• A. Bobrowski: Análisis funcional de probabilidad y procesos estocásticos: una introducción , Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0 
• MM Rao, RJ Swift: Teoría de la probabilidad con aplicaciones , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7 doi :10.1007/0-387-27731-5