Fractal de Liapunov

tipo de fractal

Fractal logístico estándar de Lyapunov con secuencia de iteración AB, en la región [2, 4] × [2, 4].

Detalle del fractal de Lyapunov en forma de golondrina. Secuencia de iteración AB, en la región [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87].

Fractal logístico de Lyapunov generalizado con secuencia de iteración AABAB, en la región [2, 4] × [2, 4].

Fractal logístico de Lyapunov generalizado con secuencia de iteración BBBBBBAAAAAA, en la región del parámetro de crecimiento ( A , B ) en [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], conocido como Zircon Zity .

En matemáticas , los fractales de Lyapunov (también conocidos como fractales de Markus-Lyapunov ) son fractales bifurcacionales derivados de una extensión del mapa logístico en el que el grado de crecimiento de la población, r , cambia periódicamente entre dos valores A y B. ^[1]

Un fractal de Lyapunov se construye mapeando las regiones de estabilidad y comportamiento caótico (medidas usando el exponente de Lyapunov ) en el plano a − b para secuencias periódicas dadas de a y b . En las imágenes, el amarillo corresponde a (estabilidad) y el azul corresponde a (caos). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda <0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

Los fractales de Lyapunov fueron descubiertos a finales de los años 1980 ^{[2] por el} físico germano-chileno Mario Markus del Instituto Max Planck de Fisiología Molecular . Fueron presentados a un gran público mediante un artículo de divulgación científica sobre matemáticas recreativas publicado en Scientific American en 1991. ^[3]

Propiedades

Los fractales de Lyapunov generalmente se dibujan para valores de A y B en el intervalo . Para valores mayores, el intervalo [0,1] ya no es estable y es probable que la secuencia sea atraída por el infinito, aunque siguen existiendo ciclos convergentes de valores finitos para algunos parámetros. Para todas las secuencias de iteración, la diagonal a = b es siempre la misma que para la función logística estándar de un parámetro. ${\displaystyle [0,4]}$

La secuencia generalmente comienza en el valor 0,5, que es un punto crítico de la función iterativa. ^[4] Los otros puntos críticos (incluso de valores complejos) de la función iterativa durante una ronda completa son aquellos que pasan por el valor 0,5 en la primera ronda. Un ciclo convergente debe atraer al menos un punto crítico. ^[5] Por lo tanto, todos los ciclos convergentes se pueden obtener simplemente cambiando la secuencia de iteración y manteniendo el valor inicial 0,5. En la práctica, cambiar esta secuencia conduce a cambios en el fractal, ya que algunas ramas quedan cubiertas por otras. Por ejemplo, el fractal de Lyapunov para la secuencia de iteración AB (ver figura superior a la derecha) no es perfectamente simétrico con respecto a a y b .

Algoritmo

El algoritmo para calcular los fractales de Lyapunov funciona de la siguiente manera: ^[6]

1. Elija una cadena de A y B de cualquier longitud no trivial (por ejemplo, AABAB).
2. Construya la secuencia formada por términos sucesivos de la cadena, repetida tantas veces como sea necesario. ${\displaystyle S}$
3. Elige un punto . ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$
4. Defina la función si y si . ${\displaystyle r_{n}=a}$ ${\displaystyle S_{n}=A}$ ${\displaystyle r_{n}=b}$ ${\displaystyle S_{n}=B}$
5. Dejemos y calculemos las iteraciones . ${\displaystyle x_{0}=0.5}$ ${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$
6. Calcule el exponente de Lyapunov: en la práctica, se aproxima eligiendo un valor suficientemente grande y eliminando el primer sumando como para .
   ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
   ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0}$ ${\displaystyle x_{0}=0.5}$
7. Colorea el punto según el valor obtenido. ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \lambda }$
8. Repita los pasos (3 a 7) para cada punto del plano de la imagen.

Más iteraciones

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Más dimensiones

Animación de un fractal de Lyapunov en 3D con la secuencia ABBBCA

Los fractales de Lyapunov se pueden calcular en más de dos dimensiones. La cadena de secuencia para un fractal de n dimensiones debe construirse a partir de un alfabeto con n caracteres, por ejemplo, "ABBBCA" para un fractal 3D, que puede visualizarse como un objeto 3D o como una animación que muestra un "corte" en la dirección C. para cada cuadro de animación, como en el ejemplo que se da aquí.

Notas

1. Véase Markus y Hess 1989, p. 553.
2. Véase Markus y Hess 1989 y Markus 1990.
3. Véase Dewdney 1991.
4. Véase Markus 1990, pag. 483.
5. Véase Markus 1990, pag. 486.
6. Véase Markus 1990, págs. 481, 483 y Markus & Hess 1998.

Referencias

• Dewdney, Alaska (1991). "Saltando al espacio Lyapunov". Científico americano . 265 (3): 130-132. doi : 10.1038/scientificamerican0991-178.
• Marcos, Mario; Hess, Benno (1989). "Exponentes de Lyapunov del mapa logístico con forzamiento periódico". Computadoras y Gráficas . 13 (4): 553–558. doi :10.1016/0097-8493(89)90019-8.
• Markus, Mario (1990). "Caos en mapas con máximos continuos y discontinuos". Computadoras en Física . 4 (5): 481. doi : 10.1063/1.4822940.
• Marcos, Mario; Hess, Benno (1998). "Capítulo 12. Exponentes de Lyapunov del mapa logístico con forzamiento periódico". En Clifford A. Pickover (ed.). Caos y fractales. Un viaje gráfico por computadora . Elsevier. págs. 73-78. doi :10.1016/B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN 978-0-444-50002-1.
• Markus, Mario, "Die Kunst der Mathematik", Verlag Zweitausendeins, Frankfurt ISBN 978-3-86150-767-3 

enlaces externos

• Fractales y caos de EFG – Exponentes de Lyapunov
• Elert, Glenn. "Espacio Lyapunov". El hiperlibro del caos .