Fórmula de cuantificación de Kontsevich

En matemáticas, la fórmula de cuantificación de Kontsevich describe cómo construir un álgebra de operador de producto ★ generalizada a partir de una variedad de Poisson arbitraria de dimensión finita dada . Este álgebra de operadores equivale a la cuantificación de deformación del correspondiente álgebra de Poisson. Se debe a Maxim Kontsevich . ^{[1] [2]}

Cuantización de la deformación de un álgebra de Poisson.

Dada un álgebra de Poisson ( A , {⋅, ⋅}) , una cuantificación de deformación es un producto unital asociativo en el álgebra de series de potencias formales en ħ , A [[ ħ ]] , sujeto a los dos axiomas siguientes, ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\star g&=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )\\{}[f,g]&=f\star g-g\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2})\end{aligned}}}$

Si se le diera una variedad de Poisson ( M , {⋅, ⋅} ) , se podría preguntar, además, que

${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{k=1}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(f\otimes g),}$

donde los B _k son operadores bidiferenciales lineales de grado como máximo k .

Se dice que dos deformaciones son equivalentes si están relacionadas mediante una transformación de calibre del tipo,

${\displaystyle {\begin{cases}D:A[[\hbar ]]\to A[[\hbar ]]\\\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}+\sum _{n\geq 1,k\geq 0}D_{n}(f_{k})\hbar ^{n+k}\end{cases}}}$

donde D _n son operadores diferenciales de orden como máximo n . El producto inducido correspondiente, , es entonces ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star '}$

${\displaystyle f\,{\star }'\,g=D\left(\left(D^{-1}f\right)\star \left(D^{-1}g\right)\right).}$

Como ejemplo arquetípico, bien se puede considerar el producto "Moyal-Weyl" original de Groenewold . ${\displaystyle \star }$

Gráficos de Kontsevich

Un gráfico de Kontsevich es un gráfico dirigido simple sin bucles en 2 vértices externos, denominados f y g ; yn vértices internos, etiquetados como Π . De cada vértice interno se originan dos aristas. Todas las (clases de equivalencia de) gráficos con n vértices internos se acumulan en el conjunto G _n (2) .

Un ejemplo de dos vértices internos es el siguiente gráfico,

Operador bidiferencial asociado

Asociado a cada gráfico Γ , existe un operador bidiferencial B _Γ ( f , g ) definido de la siguiente manera. Para cada arista hay una derivada parcial del símbolo del vértice objetivo. Se contrae con el índice correspondiente del símbolo fuente. El término para el gráfico Γ es el producto de todos sus símbolos junto con sus derivadas parciales. Aquí f y g representan funciones suaves en la variedad, y Π es el bivector de Poisson de la variedad de Poisson.

El término para el gráfico de ejemplo es

${\displaystyle \Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{2}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{i_{1}}f\,\partial _{j_{1}}\partial _{j_{2}}g.}$

Peso asociado

Para sumar estos operadores bidiferenciales existen los pesos w _Γ del gráfico Γ . En primer lugar, para cada gráfico hay una multiplicidad m (Γ) que cuenta cuántas configuraciones equivalentes hay para un gráfico. La regla es que la suma de las multiplicidades para todos los gráficos con n vértices internos es ( n ( n + 1)) ⁿ . El gráfico de muestra anterior tiene la multiplicidad m (Γ) = 8 . Para ello, resulta útil enumerar los vértices internos del 1 al n .

Para calcular el peso tenemos que integrar productos del ángulo en el semiplano superior , H , de la siguiente manera. El semiplano superior es H ⊂ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , dotado de la métrica de Poincaré

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}};}$

y, para dos puntos z , w ∈ H con z ≠ w , medimos el ángulo φ entre la geodésica de z a i ∞ y de z a w en sentido antihorario. Esto es

${\displaystyle \phi (z,w)={\frac {1}{2i}}\log {\frac {(z-w)(z-{\bar {w}})}{({\bar {z}}-w)({\bar {z}}-{\bar {w}})}}.}$

El dominio de integración es C _n ( H ) el espacio

${\displaystyle C_{n}(H):=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in H^{n}:u_{i}\neq u_{j}\forall i\neq j\}.}$

La fórmula asciende

${\displaystyle w_{\Gamma }:={\frac {m(\Gamma )}{(2\pi )^{2n}n!}}\int _{C_{n}(H)}\bigwedge _{j=1}^{n}\mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t1(j)})\wedge \mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t2(j)})}$,

donde t 1( j ) y t 2( j ) son el primer y segundo vértice objetivo del vértice interno j . Los vértices f y g están en las posiciones fijas 0 y 1 en H.

La formula

Dadas las tres definiciones anteriores, la fórmula de Kontsevich para un producto estrella ahora es

${\displaystyle f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\sum _{\Gamma \in G_{n}(2)}w_{\Gamma }B_{\Gamma }(f\otimes g).}$

Fórmula explícita hasta segundo orden.

Al hacer cumplir la asociatividad del producto, es sencillo verificar directamente que la fórmula de Kontsevich debe reducirse, al segundo orden en ħ , a solo ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\star g&=fg+{\tfrac {i\hbar }{2}}\Pi ^{ij}\partial _{i}f\,\partial _{j}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{1}}\,\partial _{i_{2}}f\partial _{j_{1}}\,\partial _{j_{2}}g\\&-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\partial _{i_{1}}\partial _{i_{2}}f\,\partial _{j_{2}}g-\partial _{i_{2}}f\,\partial _{i_{1}}\partial _{j_{2}}g)+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\end{aligned}}}$

Referencias

1. M. Kontsevich (2003), Cuantización de deformación de variedades de Poisson, Letters of Mathematical Physics 66 , págs.
2. Cattáneo, Alberto ; Felder, Giovanni (2000). "Un enfoque integral de camino a la fórmula de cuantificación de Kontsevich". Comunicaciones en Física Matemática . 212 (3): 591–611. arXiv : matemáticas/9902090 . Código Bib : 2000CMaPh.212..591C. doi :10.1007/s002200000229. S2CID  8510811.