norma schatten

En matemáticas , específicamente en análisis funcional , la norma de Schatten (o norma de Schatten-von-Neumann ) surge como una generalización de p -integrabilidad similar a la norma de clases de trazas y la norma de Hilbert-Schmidt .

Definición

Sean , espacios de Hilbert y un operador acotado (lineal) de a . Para , defina la norma p de Schatten como ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},}$

donde , usando el operador raíz cuadrada . ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

Si es compacto y son separables, entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{1},\,H_{2}}$

${\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}}$

para los valores singulares de , es decir, los valores propios del operador hermitiano . ${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

Propiedades

A continuación ampliamos formalmente el rango de a con la convención que es la norma del operador. El índice dual de es entonces . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle q=1}$

• Las normas de Schatten son unitariamente invariantes: para operadores unitarios y y , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$

${\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.}$

• Satisfacen la desigualdad de Hölder : para todos y tal que , y operadores definidos entre espacios de Hilbert y respectivamente, ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2},}$ ${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.}$

Si satisface , entonces tenemos ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$

${\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}}$.

La última versión de la desigualdad de Hölder se demuestra con mayor generalidad (para espacios no conmutativos en lugar de clases Schatten-p) en ^[1] (Para matrices, el último resultado se encuentra en ^[2] ). ${\displaystyle L^{p}}$

• Submultiplicatividad: para todos los operadores y definidos entre espacios de Hilbert y respectivamente, ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2},}$ ${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.}$

• Monotonicidad: Para , ${\displaystyle 1\leq p\leq p'\leq \infty }$

${\displaystyle \|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.}$

• Dualidad: Sean espacios de Hilbert de dimensión finita, y tales que , entonces ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle \|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,}$

donde denota el producto interno de Hilbert-Schmidt . ${\displaystyle \langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)}$

• Sean dos bases ortonormales de los espacios de Hilbert , entonces para ${\displaystyle (e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.}$

Observaciones

Observe que es la norma de Hilbert-Schmidt (ver operador Hilbert-Schmidt ), es la norma de clase de seguimiento (ver clase de seguimiento ) y es la norma del operador (ver norma del operador ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

Porque la función es un ejemplo de cuasinorma . ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

Un operador que tiene una norma de Schatten finita se denomina operador de clase Schatten y el espacio de dichos operadores se denota por . Con esta norma, es un espacio de Banach y un espacio de Hilbert para p  = 2. ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$ ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$

Observe eso , el álgebra de operadores compactos . Esto se desprende del hecho de que si la suma es finita, el espectro será finito o contable con el origen como punto límite y, por tanto, un operador compacto (ver operador compacto en el espacio de Hilbert ). ${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})}$

El caso p = 1 a menudo se denomina norma nuclear (también conocida como norma de traza o norma Ky Fan n ^[3] ).

Ver también

Normas matriciales

Referencias

1. Mierda, Thierry; Kosaki, Hideki (1986). "Generalizado s {\displaystyle s} -números de τ {\displaystyle \tau } -operadores medibles" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 123 (2).
2. Bola, Keith; Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. (1994). "Desigualdades de suavidad y convexidad uniforme y nítida para normas de traza". Invenciones Mathematicae . 115 : 463–482. doi :10.1007/BF01231769. S2CID  189831705.
3. Fan, Kentucky (1951). "Propiedades máximas y desigualdades para los valores propios de operadores completamente continuos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 37 (11): 760–766. Código bibliográfico : 1951PNAS...37..760F. doi : 10.1073/pnas.37.11.760 . PMC 1063464 . PMID  16578416. 

• Rajendra Bhatia, Análisis matricial, vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• John Watrous , Teoría de la información cuántica, 2.3 Normas de operadores, notas de conferencias, Universidad de Waterloo, 2011.
• Joachim Weidmann, Operadores lineales en espacios de Hilbert, vol. 20. Springer, Nueva York, 1980.