Solución de Caratheodory-π

Una solución de Carathéodory- π es una solución generalizada de una ecuación diferencial ordinaria . El concepto se debe a I. Michael Ross y se nombró en honor a Constantin Carathéodory . ^[1] Su viabilidad fue demostrada en 2008 por Ross et al. ^[2] en una implementación de laboratorio del concepto. El concepto es más útil para implementar controles de retroalimentación , particularmente aquellos generados por una aplicación de la teoría de control óptimo pseudoespectral de Ross . ^[3]

Antecedentes matemáticos

Una solución de Carathéodory- π aborda el problema fundamental de definir una solución para una ecuación diferencial,

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

cuando g ( x , t ) no es diferenciable con respecto a  x . Tales problemas surgen de forma bastante natural ^[4] al definir el significado de una solución a una ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$

cuando el control, u , viene dado por una ley de retroalimentación,

${\displaystyle u=k(x,t)}$

donde la función k ( x , t ) puede no ser uniforme con respecto a  x . Los controles de retroalimentación no uniformes surgen con bastante frecuencia en el estudio de controles de retroalimentación óptimos y han sido objeto de un amplio estudio desde la década de 1960. ^[5]

El concepto de Ross

Una ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}$

es equivalente a una ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=u}$

con control de retroalimentación, . Luego, dado un problema de valor inicial, Ross divide el intervalo de tiempo en una cuadrícula, con . De a , genera una trayectoria de control, ${\displaystyle u=g(x,t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \pi =\{t_{i}\}_{i\geq 0}}$ ${\displaystyle t_{i}\to \infty {\text{ as }}i\to \infty }$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle u(t)=g(x_{0},t),\quad x(t_{0})=x_{0},\quad t_{0}\leq t\leq t_{1}}$

a la ecuación diferencial controlada,

${\displaystyle {\dot {x}}=u(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

Existe una solución de Carathéodory para la ecuación anterior porque tiene discontinuidades como máximo en t , la variable independiente. En , configure y reinicie el sistema con , ${\displaystyle t\mapsto u}$ ${\displaystyle t=t_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}$ ${\displaystyle u(t)=g(x_{1},t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=u(t),\quad x(t_{1})=x_{1},\quad t_{1}\leq t\leq t_{2}}$

Continuando de esta manera, los segmentos de Carathéodory se unen para formar una solución de Carathéodory- π .

Aplicaciones de ingeniería

Una solución de Carathéodory- π se puede aplicar a la estabilización práctica de un sistema de control. ^{[6] [7]} Se ha utilizado para estabilizar un péndulo invertido, ^[6] controlar y optimizar el movimiento de robots, ^{[7] [8]} girar y controlar la nave espacial NPSAT1 ^[3] y producir comandos de guía para misiones espaciales de bajo empuje. ^[2]

Véase también

• Lema π de Ross

Referencias

1. Biles, DC, y Binding, PA, “Sobre las condiciones de Carathéodory para el problema del valor inicial”, Actas de la American Mathematical Society, vol. 125, núm. 5, mayo de 1997, págs. 1371-1376.
2. Ross, IM, Sekhavat, P., Fleming, A. y Gong, Q., "Control de retroalimentación óptimo: fundamentos, ejemplos y resultados experimentales para un nuevo enfoque", Journal of Guidance, Control and Dynamics, vol. 31, n.º 2, págs. 307–321, 2008.
3. Ross, IM y Karpenko, M. "Una revisión del control óptimo pseudoespectral: de la teoría al vuelo", Annual Reviews in Control, vol. 36, n.º 2, págs. 182-197, 2012.
4. Clarke, FH, Ledyaev, YS, Stern, RJ y Wolenski, PR, Análisis no suave y teoría de control, Springer–Verlag, Nueva York, 1998.
5. Pontryagin, LS, Boltyanskii, VG, Gramkrelidze, RV y Mishchenko, EF, La teoría matemática de los procesos óptimos, Wiley, Nueva York, 1962.
6. Ross, IM, Gong, Q., Fahroo, F. y Kang, W., "Estabilización práctica a través del control óptimo en tiempo real", Conferencia Americana de Control 2006, Minneapolis, MN, 14 al 16 de junio de 2006.
7. Martin, SC, Hillier, N. y Corke, P., "Aplicación práctica de la optimización pseudoespectral a la planificación de trayectorias de robots", Actas de la Conferencia Australasiana de 2010 sobre Robótica y Automatización, Brisbane, Australia, 1 al 3 de diciembre de 2010.
8. Björkenstam, S., Gleeson, D., Bohlin, R. "Movimiento libre de colisiones y con eficiencia energética de robots industriales mediante control óptimo", Actas de la 9.ª Conferencia internacional IEEE sobre ciencia e ingeniería de la automatización (CASE 2013), Madison, Wisconsin, agosto de 2013