Constante conectiva

Concepto en matemáticas

En matemáticas , la constante conectiva es una cantidad numérica asociada con los paseos autoevitativos en una red . Se estudia en relación con la noción de universalidad en modelos de física estadística bidimensional . ^[1] Si bien la constante conectiva depende de la elección de la red, por lo que en sí misma no es universal (de manera similar a otras cantidades dependientes de la red, como el umbral de probabilidad crítico para la percolación ), es, no obstante, una cantidad importante que aparece en conjeturas para leyes universales. Además, las técnicas matemáticas utilizadas para comprender la constante conectiva, por ejemplo en la reciente prueba rigurosa de Duminil-Copin y Smirnov de que la constante conectiva de la red hexagonal tiene el valor preciso , pueden proporcionar pistas ^[2] para un posible enfoque para atacar otros problemas abiertos importantes en el estudio de los paseos autoevitativos, en particular la conjetura de que los paseos autoevitativos convergen en el límite de escala de la evolución de Schramm-Loewner . ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Definición

La constante conectiva se define de la siguiente manera. Sea n el número de caminatas autoevitativas de n pasos que parten de un punto de origen fijo en la red. Dado que cada caminata autoevitativa de n  +  m pasos se puede descomponer en una caminata autoevitativa de n pasos y una caminata autoevitativa de m pasos, se deduce que . Luego, al aplicar el lema de Fekete al logaritmo de la relación anterior, se puede demostrar que existe el límite. Este número se llama constante conectiva y claramente depende de la red particular elegida para la caminata, ya que sí lo hace. El valor de se conoce con precisión solo para dos redes, consulte a continuación. Para otras redes, solo se ha aproximado numéricamente. Se conjetura que, a medida que n tiende a infinito, donde y , la amplitud crítica, dependen de la red, y se conjetura que el exponente , que se cree que es universal y depende de la dimensión de la red, es . ^[3] ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{n+m}\leq c_{n}c_{m}}$ ${\displaystyle \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{n}\approx \mu ^{n}n^{\gamma -1}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =43/32}$

Valores conocidos

Estos valores se toman del artículo de Jensen-Guttmann de 1998 ^[4] y de un artículo más reciente de Jacobsen, Scullard y Guttmann ^[5] . La constante conectiva de la red, dado que cada paso en la red hexagonal corresponde a dos o tres pasos en ella, se puede expresar exactamente como la raíz real más grande del polinomio. ${\displaystyle (3.12^{2})}$

${\displaystyle x^{12}-4x^{8}-8x^{7}-4x^{6}+2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2}$

Dada la expresión exacta de la constante conectiva de la red hexagonal, se puede encontrar más información sobre estas redes en el artículo sobre el umbral de percolación .

Prueba de Duminil-Copin-Smirnov

En 2010, Hugo Duminil-Copin y Stanislav Smirnov publicaron la primera prueba rigurosa del hecho de que para la red hexagonal. ^[2] Esto había sido conjeturado por Nienhuis en 1982 como parte de un estudio más amplio de modelos O( n ) utilizando técnicas de renormalización. ^[6] La prueba rigurosa de este hecho provino de un programa de aplicación de herramientas de análisis complejo a modelos probabilísticos discretos que también ha producido resultados impresionantes sobre el modelo de Ising, entre otros. ^[7] El argumento se basa en la existencia de un observable parafermiónico que satisface la mitad de las ecuaciones discretas de Cauchy-Riemann para la red hexagonal. Modificamos ligeramente la definición de un paseo autoevitativo al hacer que comience y termine en los bordes medios entre los vértices. Sea H el conjunto de todos los bordes medios de la red hexagonal. Para un paseo autoevitativo entre dos aristas medias y , definimos como el número de vértices visitados y su sinuoso como la rotación total de la dirección en radianes cuando se recorre desde hasta . El objetivo de la prueba es mostrar que la función de partición ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell (\gamma )}$ ${\displaystyle W_{\gamma }(a,b)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle Z(x)=\sum _{\gamma :a\to H}x^{\ell (\gamma )}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

converge para y diverge para donde el parámetro crítico está dado por . Esto implica inmediatamente que . ${\displaystyle x<x_{c}}$ ${\displaystyle x>x_{c}}$ ${\displaystyle x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Dado un dominio en la red hexagonal, un borde medio inicial y dos parámetros y , definimos el observable parafermiónico ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(z)=\sum _{\gamma \subset \Omega :a\to z}e^{-i\sigma W_{\gamma }(a,z)}x^{\ell (\gamma )}.}$

Si y , entonces para cualquier vértice en , tenemos ${\displaystyle x=x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \sigma =5/8}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0,}$

¿Dónde están los bordes medios que emanan de ? Este lema establece que el observable parafermiónico está libre de divergencia. No se ha demostrado que esté libre de rizos, pero esto resolvería varios problemas abiertos (ver conjeturas). La prueba de este lema es un cálculo inteligente que se basa en gran medida en la geometría de la red hexagonal. ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle v}$

A continuación, nos centramos en un dominio trapezoidal finito con 2 células L que forman el lado izquierdo, células T a lo ancho y lados superior e inferior en un ángulo de . (Se necesita una imagen). Incorporamos la red hexagonal en el plano complejo de modo que las longitudes de los bordes sean 1 y el borde medio en el centro del lado izquierdo esté ubicado en −1/2. Luego, los vértices en están dados por ${\displaystyle S_{T,L}}$ ${\displaystyle \pm \pi /3}$ ${\displaystyle S_{T,L}}$

${\displaystyle V(S_{T,L})=\{z\in V(\mathbb {H} ):0\leq Re(z)\leq {\frac {3T+1}{2}},\;|{\sqrt {3}}Im(z)-Re(z)|\leq 3L\}.}$

Ahora definimos funciones de partición para caminatas autoevitativas que comienzan y terminan en diferentes partes del límite. Denotemos el límite izquierdo, el límite derecho, el límite superior y el límite inferior. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\bar {\epsilon }}}$

${\displaystyle A_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}$

Sumando la identidad

${\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0}$

sobre todos los vértices y teniendo en cuenta que el devanado es fijo dependiendo de en qué parte del límite termina la ruta, podemos llegar a la relación ${\displaystyle V(S_{T,L})}$

${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}+\cos(\pi /4)E_{T,L}^{x_{c}}}$

Después de otro cálculo inteligente , obtenemos un dominio de franja y funciones de partición. ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle S_{T}}$

${\displaystyle A_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}$

Más tarde se demostró que , pero no necesitamos esto para la prueba. ^[8] Nos quedamos con la relación ${\displaystyle E_{T,L}^{x_{c}}=0}$

${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}}$.

De aquí podemos derivar la desigualdad

${\displaystyle A_{T+1}^{x_{c}}-A_{T}^{x_{c}}\leq x_{c}(B_{T+1}^{x_{c}})^{2}}$

Y llegamos por inducción a un límite inferior estrictamente positivo para . Como , hemos establecido que . ${\displaystyle B_{T}^{x_{c}}}$ ${\displaystyle Z(x_{c})\geq \sum _{T>0}B_{T}^{x_{c}}=\infty }$ ${\displaystyle \mu \geq {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Para la desigualdad inversa, para un paseo autoevitativo arbitrario sobre la red en forma de panal, realizamos una descomposición canónica debido a Hammersley y Welsh del paseo en puentes de anchos y . Nótese que podemos limitar ${\displaystyle T_{-I}<\cdots <T_{-1}}$ ${\displaystyle T_{0}>\cdots >T_{j}}$

${\displaystyle B_{T}^{x}\leq (x/x_{c})^{T}B_{T}^{x_{c}}\leq (x/x_{c})^{T}}$

lo que implica . Finalmente, es posible limitar la función de partición mediante las funciones de partición puente ${\displaystyle \prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})<\infty }$

${\displaystyle Z(x)\leq \sum _{T_{-I}<\cdots <T_{-1},\;T_{0}>\cdots >T_{j}}2\left(\prod _{k=-I}^{j}B_{T_{k}}^{x}\right)=2\left(\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})\right)^{2}<\infty .}$

Y entonces, tenemos eso como lo deseamos. ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Conjeturas

Nienhuis argumentó a favor de la predicción de Flory de que el desplazamiento cuadrático medio del paseo aleatorio autoevitativo satisface la relación de escala , con . ^[2] El exponente de escala y la constante universal podrían calcularse si el paseo aleatorio autoevitativo posee un límite de escala conformemente invariante, que se conjetura que es una evolución de Schramm-Loewner con . ^[9] ${\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle ={\frac {1}{c_{n}}}\sum _{n\;\mathrm {step\;SAW} }|\gamma (n)|^{2}=n^{2\nu +o(1)}}$ ${\displaystyle \nu =3/4}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 11/32}$ ${\displaystyle \kappa =8/3}$

Véase también

• Umbral de percolación

Referencias

1. Madras, N.; Slade, G. (1996). El paseo que evita uno mismo . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3891-7.
2. Duminil-Copin, Hugo; Smirnov, Stanislav (2010). "La constante conectiva de la red en forma de panal es igual a ". arXiv : 1007.0575 [math-ph]. ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
3. Vöge, Markus; Guttmann, Anthony J. (2003). "Sobre el número de poliominós hexagonales". Ciencias Informáticas Teóricas . 307 (2): 433–453. doi :10.1016/S0304-3975(03)00229-9.
4. Jensen, I.; Guttmann, AJ (1998). "Paseos autoevitativos, paseos que evitan a los vecinos y senderos en redes semirregulares" (PDF) . Journal of Physics A . 31 (40): 8137–45. Bibcode :1998JPhA...31.8137J. doi :10.1088/0305-4470/31/40/008.
5. Jesper Lykke Jacobsen, Christian R Scullard y Anthony J Guttmann, 2016 J. Phys. A: Teoría de las matemáticas 49 494004
6. Nienhuis, Bernard (1982). "Punto crítico exacto y exponentes críticos de modelos O( n ) en dos dimensiones". Physical Review Letters . 49 (15): 1062–1065. Código Bibliográfico :1982PhRvL..49.1062N. doi :10.1103/PhysRevLett.49.1062.
7. Smirnov, Stanislav (2010). "Análisis complejo discreto y probabilidad". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Hyderabad, India) 2010. págs. 565–621. arXiv : 1009.6077 . Código Bibliográfico :2010arXiv1009.6077S.
8. Smirnov, Stanislav (2014). "La fugacidad crítica para la adsorción superficial de SAW en la red de panal es ". Comunicaciones en Física Matemática . 326 (3): 727–754. arXiv : 1109.0358 . Código Bibliográfico :2014CMaPh.326..727B. doi :10.1007/s00220-014-1896-1. S2CID  54799238. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
9. Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2004). "Sobre el límite de escala del paseo autoevitativo planar". En Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (eds.). Geometría fractal y aplicaciones: un jubileo de Benoît Mandelbrot, parte 2: Multifractales, probabilidad y mecánica estadística, aplicaciones . Actas de simposios sobre matemáticas puras. Vol. 72. págs. 339–364. arXiv : math/0204277 . Bibcode :2002math......4277L. doi :10.1090/pspum/072.2/2112127. ISBN: 9780821836385. Sr.  2112127. S2CID  16710180.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante conectiva del paseo autoevitativo". MathWorld .