Conectividad homológica

Concepto de álgebra

En topología algebraica , la conectividad homológica es una propiedad que describe un espacio topológico basado en sus grupos de homología . ^[1]

Definiciones

Fondo

X está homológicamente conectado si su grupo de homología 0-ésimo es igual a Z , es decir , o equivalentemente, su grupo de homología reducido 0-ésimo es trivial : . ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)\cong 0}$

• Por ejemplo, cuando X es un grafo y su conjunto de componentes conexos es C , y (ver homología de grafos ). Por lo tanto, la conectividad homológica es equivalente a que el grafo tenga un único componente conexo, lo que es equivalente a la conectividad de grafos . Es similar a la noción de espacio conexo . ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|}}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|-1}}$

X es homológicamente 1-conexo si está homológicamente conexo y, además, su 1-ésimo grupo de homología es trivial, es decir . ^[1] ${\displaystyle H_{1}(X)\cong 0}$

• Por ejemplo, cuando X es un grafo conexo con un conjunto de vértices V y un conjunto de aristas E , . Por lo tanto, la 1-conectividad homológica es equivalente a que el grafo sea un árbol . De manera informal, corresponde a que X no tenga "agujeros" con un límite unidimensional, lo que es similar a la noción de un espacio simplemente conexo . ${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+1}}$

En general, para cualquier entero k , X está homológicamente k-conexo si sus grupos de homología reducidos de orden 0, 1, ..., k son todos triviales. Nótese que el grupo de homología reducido es igual al grupo de homología para 1,..., k (solo el grupo de homología reducido 0-ésimo es diferente).

Conectividad

La conectividad homológica de X , denotada conn _H (X) , es el k ≥ 0 más grande para el cual X está homológicamente k -conectado. Ejemplos:

• Si todos los grupos de homología reducidos de X son triviales, entonces conn _H (X) = infinito . Esto se cumple, por ejemplo, para cualquier bola .
• Si el grupo 0 es trivial pero el grupo 1 no lo es, entonces conn _H (X) = 0. Esto se cumple, por ejemplo, para un gráfico conectado con un ciclo.
• Si todos los grupos de homología reducidos no son triviales, entonces conn _H (X) = -1 . Esto es válido para cualquier espacio desconectado.
• La conectividad del espacio vacío es, por convención, conn _H (X) = -2 .

Algunos cálculos se simplifican si la conectividad se define con un desplazamiento de 2, es decir, . ^[2] El eta del espacio vacío es 0, que es su valor más pequeño posible. El eta de cualquier espacio desconectado es 1. ${\displaystyle \eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2}$

Dependencia del campo de coeficientes

La definición básica considera grupos de homología con coeficientes enteros. Considerar grupos de homología con otros coeficientes conduce a otras definiciones de conectividad. Por ejemplo, X es F ₂ -homológicamente 1-conexo si su primer grupo de homología con coeficientes de F ₂ (el campo cíclico de tamaño 2) es trivial, es decir: . ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0}$

Conectividad homológica en espacios específicos

Para la conectividad homológica de complejos simpliciales, véase homología simplicial . Se calculó la conectividad homológica para varios espacios, incluidos:

• El complejo de independencia de un grafo; ^{[3] [4]}
• Un complejo simplicial aleatorio bidimensional ; ^[1]
• Un complejo simplicial aleatorio de dimensión k ; ^[5]
• Un hipergrafo aleatorio ; ^[6]
• Un complejo de Čech aleatorio . ^[7]

Relación con la conectividad homotópica

El teorema de Hurewicz relaciona la conectividad homológica con la conectividad homotópica , denotada por . ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$

Para cualquier X que sea simplemente conexo, es decir, , las conectividades son las mismas: Si X no es simplemente conexo ( ), entonces se cumple la desigualdad: pero puede ser estricta. Véase Conectividad homotópica . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)}$$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$

Véase también

El juego de Meshulam es un juego que se juega en un gráfico G , que puede usarse para calcular un límite inferior en la conectividad homológica del complejo de independencia de G .

Referencias

1. Linial*, Nathan; Meshulam*, Roy (1 de agosto de 2006). "Conectividad homológica de complejos aleatorios de 2 elementos". Combinatorica . 26 (4): 475–487. doi :10.1007/s00493-006-0027-9. ISSN  1439-6912. S2CID  10826092.
2. Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (1 de octubre de 2017). "Sobre una conjetura de Stein". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 87 (2): 203–211. doi :10.1007/s12188-016-0160-3. ISSN  1865-8784. S2CID  119139740.
3. Meshulam, Roy (1 de mayo de 2003). "Números de dominación y homología". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 102 (2): 321–330. doi : 10.1016/s0097-3165(03)00045-1 . ISSN  0097-3165.
4. Adamaszek, Michał; Barmak, Jonathan Ariel (6 de noviembre de 2011). "Sobre un límite inferior para la conectividad del complejo de independencia de un grafo". Matemáticas discretas . 311 (21): 2566–2569. doi : 10.1016/j.disc.2011.06.010 . ISSN  0012-365X.
5. Meshulam, R.; Wallach, N. (2009). "Conectividad homológica de complejos aleatorios de dimensión k". Random Structures & Algorithms . 34 (3): 408–417. arXiv : math/0609773 . doi :10.1002/rsa.20238. ISSN  1098-2418. S2CID  8065082.
6. Cooley, Oliver; Haxell, Penny ; Kang, Mihyun ; Sprüssel, Philipp (4 de abril de 2016). "Conectividad homológica de hipergrafos aleatorios". arXiv : 1604.00842 [math.CO].
7. Bobrowski, Omer (12 de junio de 2019). "Conectividad homológica en complejos aleatorios de Čech". arXiv : 1906.04861 [math.PR].