Límite (topología)

Todos los puntos que no forman parte del interior de un subconjunto de un espacio topológico

Un conjunto (en azul claro) y su límite (en azul oscuro).

En topología y matemáticas en general, el límite de un subconjunto S de un espacio topológico X es el conjunto de puntos en la clausura de S que no pertenecen al interior de S . Un elemento del límite de S se denomina punto límite de S . El término operación de límite se refiere a hallar o tomar el límite de un conjunto. Las notaciones utilizadas para el límite de un conjunto S incluyen y . ${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$ ${\displaystyle \partial S}$

Algunos autores (por ejemplo Willard, en Topología general ) utilizan el término frontera en lugar de límite en un intento de evitar la confusión con una definición diferente utilizada en la topología algebraica y la teoría de variedades . A pesar de la aceptación generalizada del significado de los términos límite y frontera, a veces se han utilizado para referirse a otros conjuntos. Por ejemplo, Espacios métricos de E. T. Copson utiliza el término límite para referirse a la frontera de Hausdorff , que se define como la intersección de un conjunto con su límite. ^[1] Hausdorff también introdujo el término residuo , que se define como la intersección de un conjunto con la clausura de la frontera de su complemento. ^[2]

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes para el límite de un subconjunto de un espacio topológico que se denotará por o simplemente si se entiende: ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

1. Es el cierre de menos el interior de en : donde denota el cierre de en y denota el interior topológico de en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$ ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
2. Es la intersección del cierre de con el cierre de su complemento : ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. Es el conjunto de puntos tales que cada vecindad de contiene al menos un punto de y al menos un punto no de : ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$

Un punto límite de un conjunto es cualquier elemento del límite de ese conjunto. El límite definido anteriormente se denomina a veces límite topológico del conjunto para distinguirlo de otras nociones con nombres similares, como el límite de una variedad con límite o el límite de una variedad con vértices , por nombrar solo algunos ejemplos. ${\displaystyle \partial _{X}S}$

Un componente conexo del límite de S se denomina componente límite de S.

Propiedades

La clausura de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su límite: donde denota la clausura de en Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su límite, y abierto si y solo si es disjunto de su límite. El límite de un conjunto es cerrado ; ^[3] esto se deduce de la fórmula que expresa como la intersección de dos subconjuntos cerrados de ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}$$ ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$ ${\displaystyle \partial _{X}S}$ ${\displaystyle X.}$

("Tricotomía")Dado cualquier subconjunto, cada punto de se encuentra en exactamente uno de los tres conjuntos y Dicho de otra manera, y estos tres conjuntos son disjuntos por pares . En consecuencia, si estos conjuntos no están vacíos ^{[nota 1],} entonces forman una partición de ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$ $${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$ ${\displaystyle X.}$

Un punto es un punto límite de un conjunto si y solo si cada entorno de contiene al menos un punto en el conjunto y al menos un punto que no está en el conjunto. El límite del interior de un conjunto, así como el límite de la clausura de un conjunto, están ambos contenidos en el límite del conjunto. ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$

Diagrama de Venn conceptual que muestra las relaciones entre diferentes puntos de un subconjunto de = conjunto de puntos de acumulación de (también llamados puntos límite), conjunto de puntos límite de área sombreada en verde = conjunto de puntos interiores de área sombreada en amarillo = conjunto de puntos aislados de áreas sombreadas en negro = conjuntos vacíos. Cada punto de es un punto interior o un punto límite. Además, cada punto de es un punto de acumulación o un punto aislado. Del mismo modo, cada punto límite de es un punto de acumulación o un punto aislado. Los puntos aislados son siempre puntos límite. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B=}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Caracterizaciones y ejemplos generales

Un conjunto y su complemento tienen el mismo límite: $${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$

Un conjunto es un subconjunto denso y abierto de si y sólo si ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

El interior del límite de un conjunto cerrado está vacío. ^{[prueba 1]} En consecuencia, el interior del límite de la clausura de un conjunto está vacío. El interior del límite de un conjunto abierto también está vacío. ^{[prueba 2]} En consecuencia, el interior del límite del interior de un conjunto está vacío. En particular, si es un subconjunto cerrado o abierto de entonces no existe ningún subconjunto no vacío tal que sea abierto en Este hecho es importante para la definición y el uso de subconjuntos densos en ninguna parte , subconjuntos exiguos y espacios de Baire . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Un conjunto es el límite de un conjunto abierto si y solo si es cerrado y no es denso en ningún punto . El límite de un conjunto está vacío si y solo si el conjunto es a la vez cerrado y abierto (es decir, un conjunto clopen ).

Ejemplos concretos

Límite de los componentes hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot

Considérese la recta real con la topología usual (es decir, la topología cuyos conjuntos base son intervalos abiertos ) y el subconjunto de números racionales (cuyo interior topológico en está vacío). Entonces ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Estos dos últimos ejemplos ilustran el hecho de que el límite de un conjunto denso con interior vacío es su clausura. También muestran que es posible que el límite de un subconjunto contenga un subconjunto abierto no vacío de ; es decir, que el interior de en no sea vacío. Sin embargo, el límite de un subconjunto cerrado siempre tiene un interior vacío. ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

En el espacio de números racionales con la topología habitual (la topología del subespacio de ), el límite de donde es irracional, está vacío. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle a}$

El límite de un conjunto es una noción topológica y puede cambiar si se cambia la topología. Por ejemplo, dada la topología habitual en el límite de un disco cerrado es el círculo que rodea al disco: Si el disco se ve como un conjunto en con su propia topología habitual, es decir, entonces el límite del disco es el disco mismo: Si el disco se ve como su propio espacio topológico (con la topología de subespacio de ), entonces el límite del disco está vacío. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Límite de una bola abierta versus su esfera circundante

Este ejemplo demuestra que el límite topológico de una bola abierta de radio no es necesariamente igual a la esfera correspondiente de radio (centrada en el mismo punto); también muestra que el cierre de una bola abierta de radio no es necesariamente igual a la bola cerrada de radio (de nuevo centrada en el mismo punto). Denotemos la métrica euclidiana usual en por la cual induce sobre la topología euclidiana usual . Sea la unión del eje con el círculo unitario centrado en el origen ; es decir, que es un subespacio topológico de cuya topología es igual a la inducida por la (restricción de) la métrica En particular, los conjuntos y son todos subconjuntos cerrados de y por lo tanto también subconjuntos cerrados de su subespacio De ahora en adelante, a menos que se indique claramente lo contrario, se debe suponer que cada bola abierta, bola cerrada y esfera está centrada en el origen y, además, solo se considerará el espacio métrico (y no su superespacio ); siendo este un espacio métrico completo conexo por trayectorias y localmente conexo por trayectorias . ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y:=\{0\}\times \mathbb {R} }$ $${\displaystyle S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$ ${\displaystyle \mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X:=Y\cup S^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$

Denotemos la bola abierta de radio en por de modo que cuando entonces es el subintervalo abierto del eje estrictamente entre y La esfera unitaria en ("unidad" significa que su radio es ) es mientras que la bola unitaria cerrada en es la unión de la bola unitaria abierta y la esfera unitaria centrada en este mismo punto: ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}}$ ${\displaystyle r=1}$ $${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=1.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r=1}$ $${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$$ ${\displaystyle (X,d)}$ $${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).}$$

Sin embargo, el límite topológico y el cierre topológico en de la esfera unitaria abierta son: En particular, el límite topológico de la esfera unitaria abierta es un subconjunto propio de la esfera unitaria en Y el cierre topológico de la esfera unitaria abierta es un subconjunto propio de la esfera unitaria cerrada en El punto , por ejemplo, no puede pertenecer a porque no existe una secuencia en que converja a él; el mismo razonamiento se generaliza para explicar también por qué ningún punto en fuera del subintervalo cerrado pertenece a Debido a que el límite topológico del conjunto es siempre un subconjunto del cierre de , se deduce que también debe ser un subconjunto de ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ $${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].}$$ ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle (1,0)\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1].}$

En cualquier espacio métrico el límite topológico de una esfera abierta de radio centrado en un punto es siempre un subconjunto de la esfera de radio centrado en ese mismo punto ; es decir, siempre se cumple. ${\displaystyle (M,\rho ),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}}$$

Además, la esfera unitaria en contiene que es un subconjunto abierto de ^{[prueba 3]} Esto muestra, en particular, que la esfera unitaria en contiene un subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X.}$

Límite de un límite

Para cualquier conjunto donde denota el superconjunto con igualdad válida si y solo si el límite de no tiene puntos interiores, lo que será el caso, por ejemplo, si es cerrado o abierto. Dado que el límite de un conjunto es cerrado, para cualquier conjunto El operador de límite satisface así un tipo debilitado de idempotencia . ${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Al discutir los límites de variedades o símplex y sus complejos simpliciales , a menudo nos encontramos con la afirmación de que el límite del límite siempre está vacío. De hecho, la construcción de la homología singular se basa críticamente en este hecho. La explicación de la aparente incongruencia es que el límite topológico (el tema de este artículo) es un concepto ligeramente diferente del límite de una variedad o de un complejo simplicial. Por ejemplo, el límite de un disco abierto visto como una variedad está vacío, como lo está su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real es el círculo que rodea el disco. Por el contrario, el límite de un disco cerrado visto como una variedad es el círculo delimitador, como lo está su límite topológico visto como un subconjunto del plano real, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo está vacío. En particular, el límite topológico depende del espacio ambiente, mientras que el límite de una variedad es invariante.

Véase también

• Consulte la discusión sobre el límite en la variedad topológica para obtener más detalles.
• Límite de una variedad  : espacio topológico que se asemeja localmente al espacio euclidianoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Punto límite  : concepto matemático relacionado con los subconjuntos de espacios vectoriales
• Cierre (topología)  : todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico
• Exterior (topología) – El conjunto abierto más grande disjunto de algún conjunto dado
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto dado
• Conjunto denso en ninguna parte  – Conjunto matemático cuyo cierre tiene el interior vacío
• Teorema de densidad de Lebesgue , para la caracterización teórica de la medida y las propiedades de los límites.
• Superficie (topología)  : variedad bidimensional

Notas

1. La condición de que estos conjuntos no estén vacíos es necesaria porque, por definición, se requiere que los conjuntos en una partición no estén vacíos.

1. Sea un subconjunto cerrado de tal que y por lo tanto también Si es un subconjunto abierto de tal que entonces (porque ) por lo que (porque por definición , es el mayor subconjunto abierto de contenido en ). Pero implica que Por lo tanto es simultáneamente un subconjunto de y disjunto de lo cual solo es posible si QED ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S}}=S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S\subseteq S}$ ${\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,}$ ${\displaystyle U=\varnothing .}$
2. Sea un subconjunto abierto de de modo que Sea de modo que lo que implica que Si entonces elija de modo que Porque es un entorno abierto de en y la definición del cierre topológico implica que lo que es una contradicción. Alternativamente, si es abierto en entonces es cerrado en de modo que al usar la fórmula general y el hecho de que el interior del límite de un conjunto cerrado (como ) está vacío, se sigue que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.}$ ${\displaystyle U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)}$ ${\displaystyle U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,}$ ${\displaystyle U\cap S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U\neq \varnothing }$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in {\overline {S}},}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle U\cap S\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. El eje - está cerrado porque es un producto de dos subconjuntos cerrados de En consecuencia, es un subconjunto abierto de Porque tiene la topología de subespacio inducida por la intersección es un subconjunto abierto de ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle X\cap \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus Y\right)=X\setminus Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Hausdorff, Félix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. pag. 214.ISBN​ 978-0-8284-0061-9.Reimpreso por Chelsea en 1949.
2. Hausdorff, Félix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. pag. 281.ISBN​ 978-0-8284-0061-9.Reimpreso por Chelsea en 1949.
3. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (tercera edición). Dover. pág. 86. ISBN 0-486-66352-3Corolario 4.15 Porque cada subconjunto está cerrado. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)}$

Referencias

• Munkres, JR (2000). Topología . Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, S. (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
• van den Dries, L. (1998). Topología domesticada . ISBN 978-0521598385.