Shiu-Yuen Cheng (鄭紹遠) es un matemático de Hong Kong . Actualmente es catedrático de Matemáticas en la Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong . Cheng recibió su doctorado en 1974, bajo la supervisión de Shiing-Shen Chern , de la Universidad de California en Berkeley . [1] Luego, Cheng pasó algunos años como investigador postdoctoral y profesor asistente en la Universidad de Princeton y la Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook . Luego se convirtió en profesor titular en la Universidad de California en Los Ángeles . Cheng presidió los departamentos de Matemáticas de la Universidad China de Hong Kong y la Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong en la década de 1990. En 2004, se convirtió en decano de Ciencias en HKUST. En 2012, se convirtió en miembro de la Sociedad Americana de Matemáticas . [2]
Es conocido por sus contribuciones a la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales , incluido el teorema de comparación de valores propios de Cheng , el teorema de diámetro máximo de Cheng y una serie de trabajos con Shing-Tung Yau . Muchos de los trabajos de Cheng y Yau formaron parte del corpus de trabajo por el que Yau recibió la Medalla Fields en 1982. En 2020, el trabajo de investigación más reciente de Cheng se publicó en 1996.
En 1975, Shing-Tung Yau encontró una nueva estimación del gradiente para soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden en ciertas variedades completas de Riemann . [3] Cheng y Yau pudieron localizar la estimación de Yau haciendo uso de un método desarrollado por Eugenio Calabi . [CY75] El resultado, conocido como la estimación del gradiente de Cheng-Yau, es omnipresente en el campo del análisis geométrico . Como consecuencia, Cheng y Yau pudieron demostrar la existencia de una función propia, correspondiente al primer valor propio, del operador de Laplace-Beltrami en una variedad completa de Riemann.
Cheng y Yau aplicaron la misma metodología para comprender las hipersuperficies espaciales del espacio de Minkowski y la geometría de las hipersuperficies en el espacio afín . [CY76a] [CY86] Una aplicación particular de sus resultados es un teorema de Bernstein para hipersuperficies espaciales cerradas del espacio de Minkowski cuya curvatura media es cero; cualquier hipersuperficie de este tipo debe ser un plano. [CY76a]
En 1916, Hermann Weyl encontró una identidad diferencial para los datos geométricos de una superficie convexa en el espacio euclidiano. Aplicando el principio del máximo, pudo controlar la geometría extrínseca en términos de la geometría intrínseca. Cheng y Yau generalizaron esto al contexto de las hipersuperficies en variedades de Riemann. [CY77b]
Cualquier hipersuperficie cerrada estrictamente convexa en el espacio euclidiano ℝ n + 1 puede considerarse naturalmente como una incrustación de la esfera n -dimensional, a través del mapa de Gauss . El problema de Minkowski pregunta si una función arbitraria suave y positiva en la esfera n -dimensional puede realizarse como la curvatura escalar de la métrica de Riemann inducida por tal incrustación. Esto fue resuelto en 1953 por Louis Nirenberg , en el caso de que n sea igual a dos. [4] En 1976, Cheng y Yau resolvieron el problema en general. [CY76b]
Mediante el uso de la transformación de Legendre , las soluciones de la ecuación de Monge-Ampère también proporcionan hipersuperficies convexas del espacio euclidiano; la curvatura escalar de la métrica intrínseca está prescrita por el lado derecho de la ecuación de Monge-Ampère. Como tal, Cheng y Yau pudieron usar su resolución del problema de Minkowski para obtener información sobre las soluciones de las ecuaciones de Monge-Ampère. [CY77a] Como aplicación particular, obtuvieron la primera teoría general de existencia y unicidad para el problema de valor límite para la ecuación de Monge-Ampère. Luis Caffarelli , Nirenberg y Joel Spruck desarrollaron más tarde métodos más flexibles para tratar el mismo problema. [5]